生平与教育
古斯塔夫·罗赫出生于德国施特拉尔松德。他在柏林大学学习数学，师从著名的数学家如莱奥波德·克罗内克和卡尔·维尔斯特拉斯。在他们的指导下，罗赫展现出卓越的数学天赋，并很快投入到学术研究中。
主要成就
罗赫最著名的成就是与伯恩哈德·黎曼共同创立的黎曼-罗赫定理。这个定理是代数几何中的一个基本结果，它建立了代数曲线的几何性质与其函数论性质之间的深刻联系。罗赫的工作主要集中在对黎曼关于代数函数的研究进行补充和完善。黎曼-罗赫定理为研究代数曲线提供了强大的工具，对后续代数几何的发展起到了关键作用。
除了黎曼-罗赫定理，罗赫还对其他数学领域做出了贡献，包括椭圆函数和超椭圆函数的研究。他的研究成果体现了他对数学深刻的理解和敏锐的洞察力。
黎曼-罗赫定理
黎曼-罗赫定理描述了代数曲线的函数空间的维数，这个维数取决于曲线的亏格和除子的次数。简单来说，黎曼-罗赫定理揭示了代数曲线的几何性质（例如亏格）与函数论性质（例如函数空间的维数）之间的关系。这个定理是研究代数曲线的有力工具，也是代数几何的重要基石。
影响与遗产
虽然罗赫英年早逝，但他对数学的贡献却产生了深远的影响。他的研究成果促进了代数几何和函数论的发展，并影响了许多后来的数学家。黎曼-罗赫定理至今仍是研究代数曲线的重要工具，并在数学的其他领域有着广泛的应用。他的工作被认为是数学界一颗璀璨的流星。
结论
古斯塔夫·罗赫虽然短暂地活跃在数学领域，但他对代数几何和函数论的贡献是不可磨灭的。他与黎曼共同提出的黎曼-罗赫定理，为研究代数曲线提供了重要的工具，并对数学的发展产生了深远影响。罗赫的数学遗产将继续激励着后来的学者。