基本定义
一个函子 F : C → A 被称为是半正合的，如果对于 C 中的任何一个短正合序列:
0→X→Y→Z→0,
相应的序列
F(X)→F(Y)→F(Z)
是正合的，或者说是半正合的。 “正合”意味着链的像等于链的核。半正合条件则要求从F(X)到F(Y)的态射与从F(Y)到F(Z)的态射的复合为零。
重要例子
在代数拓扑中，同调函子和上同调函子是半正合函子的典型例子。对于任何一个拓扑空间 X，同调群 Hn(X) 和上同调群 Hn(X) 都是半正合函子。这意味着，给定一个短正合序列的链复形，应用同调或上同调函子后，结果仍然是一个链复形，并且满足正合性条件（或半正合性条件）。这些函子的半正合性质允许我们分析拓扑空间的结构，并将其与代数结构联系起来。
应用场景
拓扑半正合函子在许多领域都有应用。以下是一些例子：
- 同伦理论：半正合函子在研究同伦群和同伦范畴中起着关键作用。它们帮助我们研究不同拓扑空间之间的连续映射的性质。
- 代数拓扑：同调和上同调理论是代数拓扑的核心。半正合函子的性质使得我们可以通过代数工具来研究拓扑空间的复杂结构。
- K理论：K理论研究向量丛和代数K理论，其中半正合函子的概念也是至关重要的。
- 谱序列：谱序列是计算同调和上同调群的强大工具。半正合函子的性质在谱序列的构造和应用中也发挥着重要作用。
这些应用强调了半正合函子在理解和分析拓扑结构中的重要性。
结论
拓扑半正合函子是数学，特别是代数拓扑和同伦理论中一个重要的概念。它们提供了将拓扑问题转化为代数问题的桥梁，从而可以使用代数方法来研究拓扑空间的性质。同调和上同调函子等都是半正合函子的典型例子。理解半正合函子的性质对于深入研究拓扑学至关重要。