定义与基本性质
一个 Sasakian 流形是一个接触黎曼流形 (M, g, η, ξ, Φ)，其中：
- M 是一个光滑流形。
- g 是 M 上的黎曼度量。
- η 是一个接触形式，即 η ∧ (dη)^(n) ≠ 0，其中 2n+1 是 M 的维数。
- ξ 是 η 的结构向量场，满足 η(ξ) = 1，dη(ξ, ·) = 0。
- Φ 是一个 (1,1) 型张量场，满足 Φ² = -I + η⊗ξ，其中 I 是恒等变换。
这些结构必须满足某些相容性条件，包括：
g(ΦX, ΦY) = g(X, Y) – η(X)η(Y)
dη(X, Y) = g(ΦX, Y)
Sasakian 流形的一个显著特征是，其结构向量场 ξ 是一个 Killing 向量场。此外，Sasakian 流形与凯勒流形有着密切的联系，可以通过锥构造（cone construction）建立联系。具体来说，可以从一个 Sasakian 流形构造一个凯勒流形。
几何结构
Sasakian 流形具有丰富的几何结构。其中一个关键的方面是其切丛的分解。每个切向量场 X 都可以分解为与结构向量场 ξ 平行的分量 η(X)ξ 和与 Φ 相关的分量 ΦX。这种分解使得我们可以研究 Sasakian 流形的切丛的几何性质。
Sasakian 流形的研究涉及许多几何概念，如曲率、测地线和体积。Sasakian 流形的曲率性质通常与凯勒流形的曲率性质相关联。例如，如果一个 Sasakian 流形具有常数量曲率，那么其对应的凯勒锥也具有常数量曲率。
应用
Sasakian 流形在多个数学和物理领域都有应用。例如，它们在超凯勒几何、镜像对称和弦论中起着重要的作用。在物理学中，Sasakian 流形出现在超对称量子场论和超引力理论中。
Sasakian 流形的几何性质和拓扑性质与它们所关联的凯勒锥的性质密切相关。通过研究 Sasakian 流形，我们可以获得关于凯勒几何的更深入的理解，并进一步探索弦论等物理学理论。
结论
Sasakian 流形是一种重要的几何结构，它融合了接触几何和黎曼几何的特点。通过研究 Sasakian 流形，可以更深入地理解几何学、物理学以及它们之间的联系。它们与凯勒几何的密切关系，以及在弦论和超对称物理中的应用，使得 Sasakian 流形成为现代数学研究中的一个重要领域。