定义
如果函数 f(x) 在点 x 处可导且 f(x) ≠ 0，则函数 1/f(x) 在点 x 处也可导，其导数由以下公式给出：
(1/f(x))’ = -f'(x) / [f(x)]²
其中 f'(x) 是 f(x) 的导数。
推导
倒数法则可以通过多种方法推导出来。最常见的方法是使用链式法则。将 1/f(x) 写作 [f(x)]⁻¹，然后对 [f(x)]⁻¹ 应用链式法则，就可以得到倒数法则。
首先，设 g(u) = u⁻¹，则 g'(u) = -u⁻²。
然后，根据链式法则：
(1/f(x))’ = [g(f(x))]’ = g'(f(x)) * f'(x) = -[f(x)]⁻² * f'(x) = -f'(x) / [f(x)]²
应用
倒数法则的应用非常广泛。例如，它可以用来计算以下函数的导数：
- 常数除以函数的导数：如计算 1/x 的导数。
- 复杂函数的倒数：计算例如 1/(sin(x)) 的导数。
- 在求解物理学和工程学中的问题时，常常需要用到。
熟练掌握倒数法则对于解决涉及导数的微积分问题至关重要。
例子
例1：求函数 f(x) = 1/x 的导数。
应用倒数法则， f'(x) = -1 / x²
例2：求函数 f(x) = 1/(x² + 1) 的导数。
首先，求出 f(x) = x² + 1 的导数 f'(x) = 2x
应用倒数法则，f'(x) = -2x / (x² + 1)²
与商法则的关系
倒数法则可以看作是商法则的一个特殊情况。商法则是用于计算两个函数相除的导数，如果我们将其中一个函数设为常数 1，就可以得到倒数法则。因此，掌握倒数法则可以简化一些特定情况下导数的计算。
结论
倒数法则是微积分中的一个基本法则，为计算函数倒数的导数提供了简洁的方法。它简化了导数的计算过程，尤其在涉及函数倒数的计算时。通过理解和应用倒数法则，可以更有效地解决各种微积分问题。