定义与表示
伯努利数通常用符号 Bn 表示，其中 n 为非负整数。伯努利数可以通过多种方式定义，其中一种常见的方式是利用生成函数。生成函数为：
这个生成函数定义了伯努利数。通过对这个函数进行展开，可以得到一系列的伯努利数。
伯努利数的性质
伯努利数具有一些重要的性质：
- B1 = -1/2，其他的奇数下标的伯努利数都为0，即 B2n+1 = 0 (n ≥ 1)
- 偶数下标的伯努利数交替出现正负号，即 B2=1/6, B4=-1/30, B6=1/42 等。
- 伯努利数与欧拉数、黎曼ζ函数、以及斯特林数等数学概念之间存在深刻的联系。
伯努利数在数值计算中也经常出现，特别是在计算有限差分和插值时。
应用领域
伯努利数在很多数学分支中都有重要的应用，包括：
- 级数求和：伯努利数可以用来计算正整数的幂次和，例如，计算前 n 个正整数的 k 次方之和。
- 黎曼ζ函数：伯努利数与黎曼ζ函数在负整数处的取值有关，即ζ(-n) = -Bn+1/(n+1)。
- 组合数学：伯努利数出现在一些组合问题中，例如，伯努利数与排列和划分有关。
- 数值分析：伯努利数在数值积分和插值方面也有应用。
这些应用表明了伯努利数在数学领域的重要性。
计算方法
虽然可以使用生成函数来定义伯努利数，但在实际计算中，通常使用递推关系。一种常见的递推关系如下：
通过这个公式，可以递归地计算伯努利数。随着 n 的增大，计算伯努利数变得复杂，因此，计算机程序和数学软件常被用于计算。
结论
伯努利数是一组重要的有理数，在数学的多个领域中发挥着关键作用。它们不仅在理论研究中具有重要意义，也在实际应用中发挥着作用。深入理解伯努利数的性质和应用，有助于解决许多复杂的数学问题。