基本概念
凸集是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段完全包含在该集合中的集合。直观地说，凸集没有任何“凹陷”部分。例如，一个实心球、一个正方形、一个三角形都是凸集。而非凸集的例子包括新月形和星形。
核心内容
凸几何研究的主要内容包括：
- 凸集的性质：研究凸集的形状、体积、表面积等。
- 凸函数的性质：凸函数在凸集上具有特殊的性质，例如局部最小值也是全局最小值。这使得凸函数在优化问题中非常有用。
- 凸几何不等式：研究凸集之间的关系，例如著名的Brunn-Minkowski不等式和Rogers-Shephard不等式。这些不等式揭示了凸集在体积和表面积上的内在联系。
- 凸多面体：研究由有限个半空间相交形成的凸集，即凸多面体。例如，立方体、金字塔等都是凸多面体。
重要应用
凸几何在许多领域都有着广泛的应用：
- 优化：凸优化是优化领域的一个重要分支，它研究在凸集上优化凸函数的问题。凸优化在机器学习、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
- 计算机图形学：凸几何被用于生成和处理计算机图形，例如在建模和渲染过程中。
- 经济学：凸分析被用于研究经济均衡和效用函数。
- 运筹学：凸几何在解决各种运筹学问题中也扮演着重要角色，例如线性规划和非线性规划。
凸包
对于任意一个集合，可以定义它的凸包。凸包是包含该集合的最小凸集。这在图像处理、数据分析等领域中具有重要意义，例如识别图像中的物体或对数据进行聚类。
结论
凸几何作为几何学的一个重要分支，研究凸集的性质和应用。它不仅具有深刻的理论意义，还在许多实际问题中发挥着重要作用。随着数学和计算机科学的不断发展，凸几何的应用前景将更加广阔。