基本概念
在球形模型中，每个自旋都可以在一个球面上自由移动。这种连续的自旋空间与伊辛模型的离散自旋（向上或向下）形成了鲜明的对比。模型的哈密顿量描述了自旋之间的相互作用，通常包括一个交换相互作用项，该项倾向于使相邻自旋对齐。
数学描述
球形模型的哈密顿量可以表示为：
H = -J ∑<i,j> Si · Sj
其中，Si 表示第 i 个自旋的矢量，J 是交换耦合常数，求和 ∑<i,j> 遍历所有相邻自旋对。球形模型的一个关键约束是自旋矢量的模长保持不变，即 |Si|2 = 1 。这种约束条件使得模型的数学分析变得复杂，但同时也赋予了模型独特的物理性质。
求解
Berlin 和 Kac 在其1952年的工作中，通过引入拉格朗日乘子将约束条件纳入到模型的计算中。他们成功地计算了模型的配分函数，并由此得到了系统的热力学性质。求解过程涉及复杂的积分和数学技巧，但最终结果为我们提供了对球形模型相变行为的深刻理解。
物理意义
球形模型展现了连续对称性系统在相变时的重要特征。它预测了在一定温度下存在相变，从有序相（自旋排列）到无序相（自旋随机分布）。虽然球形模型是一个理想化的模型，但它为研究更复杂的物理系统，例如超流体和磁性材料，提供了有用的理论框架。
球形模型还提供了对临界现象的深刻见解，特别是关于临界指数。这些指数描述了在相变点附近，各种物理量（如磁化强度、比热容等）随温度变化的速率。通过分析球形模型，可以更好地理解临界现象的一般特征。
与伊辛模型的比较
球形模型与伊辛模型在许多方面有所不同，但它们都属于统计力学中研究的经典模型。伊辛模型具有离散自旋，而球形模型具有连续自旋。 虽然伊辛模型在二维中存在精确解，但它在三维及以上才展现相变。球形模型则简化了数学结构，允许计算在一些特定情况下，从而可以进行更深入的理论分析。两者都为我们提供了理解复杂物理系统的重要工具。
结论
球形模型是一个重要的统计力学模型，它为理解铁磁性系统和相变行为提供了有力的工具。Berlin 和 Kac 的解决方案为我们提供了对连续对称性系统的重要见解，并促进了对更复杂物理现象的研究。球形模型的概念和方法在凝聚态物理学、统计物理学和材料科学等领域都有广泛的应用，持续推动着科学的发展。