定义
设 $(X, \tau)$ 是一个拓扑空间， $A \subseteq X$。如果 $A$ 满足以下两个条件，则称 $A$ 为完美集：
- $A$ 是闭集。
- $A$ 中没有孤立点。
一个点 $x \in A$ 是 $A$ 的孤立点，如果存在开集 $U$，使得 $U \cap A = \{x\}$，即 $x$ 在 $A$ 中是孤立的。
性质
完美集具有一些重要的性质：
- 闭集：完美集必须是闭集。这是完美集定义的一部分。
- 无孤立点：完美集不包含任何孤立点。换句话说，完美集中的每个点都是其自身的聚点。
- 导集：完美集等于其自身的导集。一个集合的导集是指该集合所有聚点的集合。由于完美集中的每个点都是聚点，并且完美集是闭集，因此完美集包含其所有聚点。
- 完备性：完美集通常是完备度量空间的一个重要组成部分。在完备度量空间中，完美集的一个例子是康托集。
例子
以下是一些完美集的例子：
- 实数集 $\mathbb{R}$。
- 闭区间 $[a, b]$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 且 $a < b$。
- 康托集（Cantor set）。
- 任何离散空间中的闭集，当且仅当该闭集是有限集或空集时。
以下是一些非完美集的例子：
- 开区间 $(a, b)$，因为它不是闭集。
- 有理数集 $\mathbb{Q}$，因为它既不是闭集，也没有孤立点。
- 集合 $\{1, 2, 3\}$，因为其所有点都是孤立点。
康托集
康托集是一个经典的完美集例子。它是在单位闭区间 $[0, 1]$ 上构造的，通过反复地删除中间三分之一的开区间。康托集是闭的，无处稠密的，并且不包含任何孤立点。康托集的构造过程说明了完美集可以是“稀疏”的，即它们可以具有零测度，但仍然包含无穷多个点。
应用
完美集在数学的多个领域中都有应用，特别是在实分析和拓扑学中。它们在构建反例、研究连续性、以及理解集合论方面都起着重要作用。它们还与分形几何密切相关，例如康托集就是一种简单的分形。
结论
完美集是拓扑学中一个重要的概念，它既是闭集，又没有孤立点。这些集合在数学的多个分支中都有重要的应用，尤其是在实分析和拓扑学中。它们提供了有趣的例子，有助于理解连续性、闭性以及导集等概念。康托集是完美集的一个典型例子，它展示了完美集可以是“稀疏”的，但仍然具有丰富的拓扑性质。