坐标的定义
双球坐标 (ξ, η, φ) 通过以下公式与笛卡尔坐标 (x, y, z) 相关联：
x = a sinh(η) cos(φ) / (cosh(η) – cos(ξ))
y = a sinh(η) sin(φ) / (cosh(η) – cos(ξ))
z = a sin(ξ) / (cosh(η) – cos(ξ))
其中，a 是一个常数，表示双球坐标系统的尺度。 ξ 的范围是 [0, π]，η 的范围是 (-∞, ∞)，φ 的范围是 [0, 2π)。
坐标的几何解释
在双球坐标中，
- ξ = 常数: 表示以 z 轴为轴的球形曲面，这些球面的中心位于 z 轴上，并且彼此相切于原点。 ξ = 0 表示包含原点的球面，而 ξ = π 表示另一个包含原点的球面。
- η = 常数: 表示以 y 轴为轴的环面，这些环面互不相交，并且都与 xz 平面相交。
- φ = 常数: 表示通过 z 轴的半平面。
坐标系的特性
双球坐标系具有正交性，这意味着其坐标面的交线相互垂直。 这使得在这些坐标系中求解微分方程变得更容易。 雅可比矩阵 可以用来计算坐标变换的比例因子，这些因子在计算梯度、散度和拉普拉斯算子时至关重要。
应用
双球坐标在多个领域都有应用：
- 静电学: 用于计算带电球体和环面的电场。
- 流体力学: 用于解决流体绕球体和环面的流动问题。
- 电磁学: 用于计算电磁波的散射。
- 物理学: 用于求解某些量子力学问题。
由于其能够很好地适应某些边界条件，双球坐标系在物理和工程问题中非常有用。
结论
双球坐标系是一种特殊的三维坐标系，通过旋转双极坐标产生。它在处理涉及球体和环面的问题时具有独特的优势。其正交性使得它非常适合用于求解偏微分方程。 了解双球坐标对于解决一些复杂的物理和工程问题至关重要。