定义
设 G 是一个群，S 是 G 的一个子群。则 S 在 G 中的正规化子，记作 NG(S)，定义为：
NG(S) = {g ∈ G | gSg-1 = S}
换句话说，正规化子由 G 中所有使得 S 保持“不变”的元素组成。群 G 的范，记作 norm(G)，定义为 G 中所有子群的正规化子的交集：
norm(G) = ⋂S ≤ G NG(S)
其中，符号 S ≤ G 表示 S 是 G 的一个子群。
性质
群的范具有一些重要的性质，这些性质有助于我们理解群的结构：
- 范是 G 的一个正规子群： 这意味着 norm(G) 是 G 的一个子群，并且对于任意的 g ∈ G 和 n ∈ norm(G)，都有 gng-1 ∈ norm(G)。
- 范是 G 的包含于所有正规子群的子群： 具体来说，如果 N 是 G 的一个正规子群，那么 norm(G) ⊆ N。这意味着范是 G 中“最不显著”的正规子群，它代表了 G 中所有子群在某种意义上的“共同正规化”特性。
- 中心化子与范的关系： 群 G 的中心，记作 Z(G)，是 G 中与所有元素都交换的元素的集合。在某些情况下，群的中心与范密切相关。特别地，如果一个群的范是其中心，那么这个群具有一些特殊的性质。
范的计算
计算群的范通常需要确定群的所有子群，并计算每个子群的正规化子，最后求它们的交集。这个过程对于复杂的群可能非常困难。但对于一些特殊的群，我们可以利用其结构性质来简化计算。
例如，对于阿贝尔群（Abelian group），由于其所有子群都是正规子群，因此每个子群的正规化子就是整个群。因此，阿贝尔群的范就等于整个群。
另一方面，对于一些非阿贝尔群，计算范可能需要更深入的群论知识，例如利用群的作用、代表理论，或者Sylow定理等工具。
应用
群的范在群论研究中有着广泛的应用：
- 群的结构分析： 范提供了关于群的正规子群结构的信息，帮助我们理解群的复杂性。
- 群的分类： 通过分析范的性质，可以对群进行分类，例如，可以根据范是否等于中心，或者范的大小来进行分类。
- 子群的性质： 范与子群的正规化子有关，有助于研究子群在群中的“相对位置”和“相互作用”。
结论
群的范作为群论中的一个重要概念，为我们研究群的结构和性质提供了有力的工具。它连接了群的子群、正规子群和中心，为我们深入理解群的内在规律提供了关键线索。虽然计算群的范可能具有挑战性，但其在群论中的应用是不可或缺的。