历史背景
“拟阿贝尔群”这个术语最早是用来指代域上正交群的。正交群是一类特殊的群，它由保持内积不变的线性变换组成。这些变换在几何学中具有重要的意义，例如旋转和反射。在某些特定的背景下，例如研究二次型或辛几何时，使用“拟阿贝尔群”来描述正交群。
定义与特性（已过时）
虽然现在该术语已经不常用，但最初，拟阿贝尔群通常指代在某个域上定义的正交群。一个正交群通常与一个二次型或内积相关联。二次型是一个定义在向量空间上的函数，它将一个向量映射到一个标量值。而内积则定义了向量之间的“距离”和“角度”。一个正交群由所有保持这个二次型或内积不变的线性变换组成。这意味着这些变换在不改变向量长度和角度的情况下，对向量空间进行旋转或反射。
由于具体的数学细节和研究方向的发展，现代数学中很少使用这个术语，而是直接使用更精确的术语，比如正交群本身，以及与之相关的群论概念，例如李群、代数群等。
与现代数学的关系
虽然“拟阿贝尔群”这个术语本身已经过时，但它所指代的正交群及其相关概念在现代数学中仍然扮演着重要的角色。正交群是李群的一个重要例子，李群在微分几何、物理学以及其他许多领域中都有广泛的应用。研究正交群及其表示理论，有助于理解对称性和物理现象的本质。
例如，正交群与量子力学中的旋转对称性密切相关。在量子力学中，描述粒子的状态的波函数必须在空间旋转下保持不变，这意味着该系统的对称性可以由正交群来描述。这些群也出现在其他物理领域，如电磁学和引力理论。
结论
“拟阿贝尔群”是一个相对过时的术语，主要用于描述域上的正交群。尽管这个术语本身不再常用，但它所代表的数学概念，特别是正交群，在现代数学和物理学中仍然具有重要的地位，并在研究对称性、几何结构和物理现象等方面发挥着关键作用。