基本概念
设 G 是一个有限群，X 是一个有限集合。G 在 X 上的作用指的是一个映射，它将 G 中的每个元素 g 与 X 的一个置换（即重新排列 X 中元素的函数）相关联，且该映射满足群的性质。例如，当 G 作用于 X 时，我们可以考虑 G 在 X 上轨道，即 X 中可以通过 G 的元素互相转换的元素集合。Burnside 环的构建基于对这些轨道的计数。
对于给定的群 G，可以构造一个自由阿贝尔群，其基底由有限集合 X 上的所有 G-集构成。一个 G-集是指一个集合，其上有一个 G 的作用。然后，可以通过定义加法和乘法来构造一个环。加法对应于不交并，而乘法对应于笛卡尔积。最终，得到的就是 Burnside 环。
环的构造
Burnside 环的构造涉及将 G 的有限集合 X 上的 G-集进行分解。每个 G-集可以分解成一些 G-轨道的并集。两个 G-集被认为是等价的，如果它们具有相同数量的轨道。Burnside 环的元素是这些等价类的线性组合，系数为整数。
具体来说，Burnside 环 B(G) 的元素是形式为 ∑ ai[Xi] 的有限和，其中 Xi 是 G-集，ai 是整数，[Xi] 表示 Xi 的等价类。加法定义为类之间的不交并，乘法定义为笛卡尔积。Burnside 环中的零元素对应于空集，而单位元素对应于只有一个元素的平凡 G-集。
Burnside 引理 是 Burnside 环理论中的一个重要工具，用于计算一个有限群作用于一个集合上的轨道数量。它指出，轨道数量等于所有群元素固定点的平均数。这使得计算轨道数量变得容易，特别是在群较大时。
应用
Burnside 环在组合数学和群论中具有广泛的应用。它可用于解决各种计数问题，例如计算给定对称群作用下的着色方案的数量。例如，可以使用 Burnside 环来计算在考虑旋转和反射的情况下，一个正多边形可以被着色的方式有多少种。
Burnside 环也被用于研究群的表示论和特征标理论。通过对 Burnside 环的分析，可以获得关于群的结构和性质的重要信息。例如，可以利用 Burnside 环来计算群的置换特征标，从而了解群作用的分解情况。
结论
Burnside 环是一个强大的代数工具，用于研究群作用的组合和枚举问题。它提供了一种将群作用的性质转化为代数语言的手段，为解决各种计数和群论问题提供了有力的工具。通过 Burnside 环，我们可以更深入地理解有限群作用的结构和性质。