理论基础
传统上，纳什均衡被理解为参与者使用混合策略来最大化其期望收益。然而，混合策略的概念有时会引发困惑：参与者为何要随机选择策略？净化定理通过引入微观的、不确定性的视角来解决这个问题。该定理的核心思想是：即使参与者似乎使用混合策略，在考虑到微小的私有信息不确定性后，他们实际上是在使用纯策略。
核心内容
净化定理表明，在一定条件下，一个博弈的混合策略纳什均衡可以通过引入私有信息（或称“不确定性”）来“净化”。换句话说，如果每个玩家对其他玩家的支付函数或某些其他游戏参数略有不确定性，那么当不确定性足够小时，混合策略纳什均衡可以近似为纯策略均衡。
这意味着：表面上使用混合策略的参与者，实际上是在根据他们的私有信息（例如，对自身或对手的某种特性的估计）选择纯策略。例如，一个看似以一定概率“赌注”的玩家，可能实际上是根据他们对对手底牌的微妙的看法而选择跟注或弃牌。
数学表达和条件
净化定理的数学表述通常比较复杂，涉及概率测度和极限。简而言之，它说明了当博弈的“噪声”变得无穷小时，混合策略均衡会收敛到纯策略均衡。关键的条件包括：
- 不确定性是“足够小”的：通常指不确定性的方差趋于0。
- 博弈满足一定的“正则性”条件：例如，支付函数必须是连续的。
满足这些条件后，混合策略均衡可以用纯策略的分布来近似。
应用和意义
净化定理对博弈论研究具有深远影响。它为纳什均衡提供了更稳固的解释，并使其在经济学、政治学和社会学等领域中的应用更具合理性。它还帮助我们理解在现实世界中，看似随机的行为可能源于个体对信息的不完全和差异性的处理。
例如，在拍卖中，净化定理可以解释为什么即使在简单的拍卖模型中，参与者也可能使用复杂的策略。它表明，这些策略实际上可能源于参与者对其他参与者估值的私有信息进行优化，而不是单纯的随机行为。
局限性
净化定理也有其局限性。例如，它要求引入一定程度的不确定性，这在某些博弈中可能不适用。此外，净化定理的结论依赖于“无穷小”的不确定性，这在实践中可能难以精确衡量。理论的适用性取决于特定博弈的结构和参数。
结论
净化定理是博弈论中的一个重要成果，它通过引入私有信息和不确定性，为纳什均衡提供了更深刻的解释。它阐明了混合策略和纯策略之间的联系，并为我们理解现实世界中的策略选择提供了有价值的见解。尽管如此，净化定理也有其局限性，在使用时需要仔细考虑。净化定理的核心意义在于揭示了在看似随机的决策背后，可能存在着个体对信息的精细处理。