基本概念
一个拟霍夫代数 A 由以下结构组成：一个代数结构（具有乘法和单位元），一个余代数结构（具有余乘法和余单位元），一个对偶性（称为对合），以及一个额外的结构——一个可逆元 Φ ∈ A ⊗ A ⊗ A，称为结合子。这个结合子是拟霍夫代数区别于普通霍夫代数的关键。结合子满足一定的相容性条件，保证了代数的相容性。此外，还存在一个单位元的扭曲。
与霍夫代数的区别
霍夫代数要求余结合子律严格成立，而拟霍夫代数仅要求它在结合子的意义下成立。具体而言，对于霍夫代数，(id ⊗ Δ)Δ = (Δ ⊗ id)Δ，其中 Δ 是余乘法。对于拟霍夫代数，上述恒等式不再成立，取而代之的是:
(id ⊗ Δ)Δ(x) = Φ ⋅ (Δ ⊗ id)Δ(x) ⋅ Φ⁻¹
其中x是A中的元素，Φ是结合子。 这种“扭曲”的余结合性允许拟霍夫代数描述更复杂的结构，例如，当考虑非交换的情况时，更易处理。
重要性质
拟霍夫代数的一个重要性质是其拥有一个“积性”。给定两个拟霍夫代数，可以定义它们的张量积，构成一个新的拟霍夫代数。拟霍夫代数还具有“表示理论”，即可以通过线性空间上的线性变换来研究拟霍夫代数的结构。此外，拟霍夫代数可以用来构造拓扑量子场论 (TQFT)，为研究量子物理学和拓扑学之间的关系提供了有力的工具。
应用领域
拟霍夫代数在多个数学和物理领域都有应用。在量子群理论中，拟霍夫代数可以用来构造和研究量子包络代数的形变。在拓扑量子场论中，拟霍夫代数可以用来定义和研究拓扑不变量。它也与纽结理论、组合学和统计物理学等领域存在联系。 拟霍夫代数也用于研究扭曲的代数结构和量子积分系统。
结论
拟霍夫代数是霍夫代数的有力推广，其引入的结合子为研究更为广泛的代数结构提供了新的视角。 它在数学和物理学中都有着重要的应用，尤其在量子群理论、拓扑量子场论和组合数学等领域。对其的研究还在不断发展，并为我们理解更复杂的物理现象和数学结构提供了新的工具。