基本定义与性质
一个初等阿贝尔群，通常记为 (ℤ/pℤ)^n，其中p是一个素数，n是一个非负整数。这意味着该群是p阶循环群(ℤ/pℤ)的n次直积。这个群的阶数是p^n，也就是说，群中包含p^n个元素。群中的每个非单位元元素都有阶p，这正是“初等”的含义。
初等阿贝尔群的一个重要性质是，它们可以被看作有限域上的向量空间。例如，如果p是一个素数，我们可以将(ℤ/pℤ)视为一个有限域，记为F_p。然后，(ℤ/pℤ)^n 可以被视为F_p上的一个n维向量空间。这意味着，我们可以使用向量空间的线性代数工具来研究和理解初等阿贝尔群的性质。
结构与运算
初等阿贝尔群的元素可以用n元组表示，每个分量都来自有限域 F_p，即元素取值为0, 1, 2, …, p-1。群的运算是逐分量加法，并且运算结果要模p。例如，在(ℤ/2ℤ)^2中，（1,0）+ (0,1) = (1,1)。因为 (ℤ/pℤ)^n 是循环群的直积，群的结构非常规则，这使得研究其子群、商群等变得相对简单。
了解其结构有助于我们更好地理解初等阿贝尔群。例如，我们可以轻松地找到子群。对于任何k ≤ n，(ℤ/pℤ)^k 都是(ℤ/pℤ)^n 的一个子群。此外，初等阿贝尔群与群的表示理论密切相关，在表示理论中，群元素被表示为线性变换。
应用
初等阿贝尔群在密码学、编码理论以及组合数学等领域都有着广泛的应用。例如，它们在设计某些类型的密码算法中发挥作用，因为其结构便于进行数学分析。在编码理论中，它们被用于构建线性码，这些码可以用于纠正数据传输过程中的错误。
初等阿贝尔群还在群论研究中充当基础构成部分，用于构造更为复杂的群。理解初等阿贝尔群是学习更复杂的群结构（如p群）的关键。此外，由于其与向量空间的联系，初等阿贝尔群的研究也促进了代数、几何学等领域之间的联系。
结论
初等阿贝尔群是群论中一类重要的群，它拥有清晰的结构和丰富的性质。它们是有限域上的向量空间，具有许多优良的性质，并且在多个领域都有广泛的应用。对初等阿贝尔群的理解，有助于我们深入探索群论，并为解决其他数学问题提供工具。