定义与构造
设 G 和 H 是两个群，它们的中心分别记作 Z(G) 和 Z(H)。 如果存在一个从 Z(G) 到 Z(H) 的同构 φ，则 G 和 H 的中心积，记作 G *Z H，可以通过以下方式构造：
首先，取 G 和 H 的直积 G × H。然后，考虑子群 K = {(z, φ(z)-1) | z ∈ Z(G)}。 其中 φ(z)-1 代表 φ(z) 在 H 中的逆元。中心积 G *Z H 定义为商群 (G × H) / K。 也就是说，中心积是将直积中的 K 中的元素识别为一个元素后形成的。
性质
中心积保留了许多重要的结构性质。 例如，如果 G 和 H 都是有限群，则 G *Z H 也是有限群，并且其阶数与 G 和 H 的阶数相关。 中心积也保持了某些性质，例如可解性。 更具体地说，如果 G 和 H 都是可解群，那么 G *Z H 也是可解群。
中心积的关键性质在于它将两个群通过它们各自的中心连接起来。这意味着中心积能够反映出这两个群中心之间的关系，这在分析群的整体结构时非常重要。 中心积通常被用于分解群，尤其是在研究某些类型的有限群时。
应用
中心积在群论的许多领域都有应用，包括：
- 有限群的分类：中心积是构建和分析有限群的一种重要工具。例如，在分类有限单群时，经常使用中心积来构造更大的群。
- 表示论：在表示论中，中心积可以帮助研究群的不可约表示。
- 几何学：在某些几何结构中，中心积被用来构造对称群。
中心积的应用不仅限于理论层面，在实际的群论问题中也有广泛的应用。
例子
一个经典的例子是四元数群 Q8。两个四元数群的中心积，可以用来构建一个更大的群。 另外，在有限群论中，某些群可以表示为更小群的中心积。例如，D8 *Z Z2，其中 D8是八面体群，Z2是二阶循环群，可以构造出一些新的群结构。
结论
中心积是群论中一种强大的工具，它允许我们从更小的群构造更大的群，并保持重要的结构性质。 它在有限群的分类、表示论和几何学中都有重要的应用。 通过深入研究中心积，我们可以更好地理解群的结构和性质，从而解决更复杂的群论问题。