定义与基本概念
考虑一个复变函数 f(z)，它定义在复平面 C 的一个子集 D 上。一个复数 w 被称为 f(z) 的亏值，如果 w 不是 f(z) 在 D 中的任何一个点的函数值。换句话说，对于所有的 z 属于 D，都有 f(z) ≠ w。
亏值概念的重要性在于，它揭示了复变函数在复平面上的行为特点。亏值的存在，可以反映出函数在某些点或者区域内的“缺失”特征，这些缺失值可以帮助我们更好地理解函数的整体性质，特别是对于亚纯函数和全纯函数的研究。
亏值的种类
亏值可以根据函数在邻近该值点处的行为进行分类，主要分为两种类型：
- 皮卡德亏值 (Picard exceptional value)：如果一个亚纯函数 f(z) 在复平面上仅取有限次值，那么这个值就被称为皮卡德亏值。皮卡德定理指出，一个非常数亚纯函数在复平面上最多只能有两个皮卡德亏值。
- 兰道亏值 (Landau exceptional value)：兰道亏值是另一种类型的亏值，它涉及到亚纯函数在某个特定邻域内的行为。如果一个亚纯函数 f(z) 在某个邻域内不取任何值，那么这个值可以被称为兰道亏值，这通常与函数的导数和增长速度有关。
亏值的应用
亏值的研究在复分析中有着广泛的应用，特别是在以下几个方面：
- 函数分类：亏值的存在和数量可以帮助我们对复变函数进行分类。例如，根据一个函数所拥有的亏值的数量，可以判断其属于哪一类。
- 函数性质研究：亏值可以揭示函数在复平面上的行为特征，例如函数的增长速度、零点分布和奇点等。
- 定理证明：亏值是许多复分析定理证明的关键。例如，皮卡德大定理就利用了亏值的概念来描述亚纯函数的性质。
- 数学物理：在数学物理中，亏值可以用于研究某些物理现象，例如量子力学中的散射理论和统计物理学中的相变理论。
结论
亏值是复分析中的一个重要概念，它描述了复变函数在复平面上的“缺失值”现象。亏值的研究有助于我们理解函数的整体行为，并提供了研究函数性质的工具。通过对亏值的分类和应用，可以深化对复分析的认识，并将其应用于解决相关领域的问题。