定义与基本性质
设 E 是流形 M 上的一个向量丛，g 是 E 上的一个度量。一个联络 ∇ 称为度量联络，如果对于 E 中的任意向量场 X, Y 和流形 M 上的任意光滑函数 f，都满足：
∇X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ)
换句话说，度量联络与度量兼容，即平行移动保持内积。度量联络的一个重要特征是，它可以保持向量的长度和夹角不变，这使得它在几何和物理中具有广泛的应用。
重要例子：Levi-Civita 联络
在黎曼几何中，Levi-Civita 联络（也称为列维-奇维塔联络）是最重要的度量联络。它是唯一一个既是度量联络又是无挠率联络的联络。无挠率意味着 ∇XY – ∇YX = [X, Y]，其中 [X, Y] 是向量场 X 和 Y 的李括号。Levi-Civita 联络定义了黎曼流形上最自然的“导数”，它允许我们定义测地线，即局部最短路径。
Levi-Civita 联络的重要性在于，它提供了对黎曼流形的标准和一致的微分结构描述。它允许我们定义曲率张量，该张量衡量了流形的弯曲程度。Levi-Civita 联络是黎曼几何学研究的基础。
应用
度量联络在多个数学和物理领域中都有着重要的应用：
- 黎曼几何：Levi-Civita 联络是黎曼几何的基础，用于定义曲率、测地线和其他几何概念。
- 规范场论：在物理学中，规范场，如电磁场和引力场，通常与度量联络相关联。
- 相对论：广义相对论使用 Levi-Civita 联络来描述时空的几何性质。
- 物理学其他领域：度量联络在量子场论、弦理论等领域中也有应用。
结论
度量联络是几何和物理学中不可或缺的工具，它在保持向量丛的度量与联络兼容方面起着关键作用。Levi-Civita 联络作为最重要的度量联络，是黎曼几何研究的基础，并被广泛应用于物理学各个领域。理解度量联络的性质和应用，有助于我们深入探索几何和物理世界的奥秘。