模型的定义
贝尔特拉米–克莱因模型将双曲平面表示为一个圆盘（或球体，在更高维度）。双曲空间中的“点”对应于圆盘内部的点，而双曲空间中的“直线”对应于圆盘内部的弦。重要的是，这个模型保留了入射性：如果一个点在一条直线上，那么在模型中，相应的点位于相应的弦上。但是，角度和距离在模型中是不保形的。
几何特性
在贝尔特拉米–克莱因模型中，直线是欧几里得直线段，连接圆盘内的两点。两条“直线”之间的夹角与它们在圆盘边界上的交点所形成的欧几里得角度不相同。而双曲距离可以用比欧几里得距离更为复杂的公式计算。双曲距离沿直线段衡量，当接近圆盘边缘时，距离会变得无限大。平行线在双曲几何中定义为不相交的直线，在贝尔特拉米–克莱因模型中，这些直线会汇聚在圆盘边缘的一个点上。
与其他模型的比较
贝尔特拉米–克莱因模型与其他双曲几何模型（如庞加莱圆盘模型和庞加莱半平面模型）之间存在联系。每个模型都有其自身的优点和缺点。例如，庞加莱圆盘模型是保角的，这意味着它保留了角度。而贝尔特拉米–克莱因模型则在连接直线的交点上保持直线性，这在某些几何构造中很有用。
应用
贝尔特拉米–克莱因模型在多个领域都有应用。它被用于计算机图形学中，用来表示和处理双曲几何。此外，它也用于研究相对论和宇宙学，因为爱因斯坦的相对论涉及到非欧几何。该模型还提供了一种可视化双曲几何中各种性质的方式，这对于教育和研究都很有帮助。
结论
贝尔特拉米–克莱因模型是一个重要的几何模型，用于研究和可视化双曲空间。通过将双曲空间映射到欧几里得圆盘上，它为我们提供了一个直观的方式来理解双曲几何的特性和概念。它在数学、物理学和计算机科学中都有广泛的应用，继续在学术界和工业界发挥着重要作用。