定义
“正定算子”一词可以指代几种不同的概念，它们都与正定性有关。下面是两个主要的概念：
- 经典分析中的正定函数： 在经典分析中，正定函数是指满足特定条件的函数，这些函数在傅里叶变换等分析中起着关键作用。 它们通常与内积和距离的定义有关，并在概率论、信号处理等领域有广泛应用。
- Choi 定理： Choi 定理与完全正映射有关。 它为完全正映射提供了一个特征，表明完全正映射可以被表达成特定形式的算子。 这个定理是量子信息理论中的核心工具，用于研究量子系统的演化和性质。
正定函数
在经典分析中，正定函数通常定义在某个群或半群上。 考虑一个函数 f，它定义在群 G 上，并取值于复数域中。 如果对于任意有限点集 x1, x2, …, xn ∈ G，以及任意复数 c1, c2, …, cn，都有以下不等式成立：
∑i=1n ∑j=1n ci * conj(cj) * f(xi * xj-1) ≥ 0
其中 conj(cj) 表示 cj 的复共轭，那么函数 f 就是正定的。 正定函数在调和分析中扮演着重要角色，它们与群表示、特征函数以及谱分析等密切相关。一个重要的例子是高斯函数，它在许多应用中被用作正定核函数。
Choi 定理与完全正映射
在量子信息理论中，正定算子常指代一种特殊的线性映射，被称为完全正映射。 这些映射保持了量子态的物理有效性。 Choi 定理提供了描述完全正映射的强大工具。 对于一个有限维的 Hilbert 空间 H，一个线性映射 Φ: B(H) -> B(H) 是完全正的，当且仅当对于任意维度 k，(Φ⊗Ik) (X) 也是正定的，其中 X 是 B(H⊗Ck) 中的正定算子，Ik 是 Ck 上的恒等算子。
Choi 定理为我们提供了构造完全正映射的方法。一个完全正映射可以被写成：
Φ(X) = ∑i AiXAi†
其中 Ai 是算子，Ai† 表示 Ai 的共轭转置。 这种表示形式称为 Kraus 分解，是量子信息理论中重要的工具。 完全正映射描述了量子系统的演化，包括量子门的实现和量子信道的建模。
应用
正定算子的概念在多个领域有广泛的应用。
- 经典分析： 正定函数用于傅立叶分析，谱分析，以及在概率论和信号处理中。
- 量子信息理论： 完全正映射用于描述量子态的演化，量子信道建模，以及量子计算和量子通信。
- 控制理论： 正定算子用于稳定性分析，特别是 Lyapunov 函数的构造。
- 机器学习： 正定核函数被用于支持向量机(SVM)和其他核方法。
结论
正定算子是一个重要的数学概念，在多个领域都有广泛应用。 无论是经典分析中的正定函数，还是量子信息理论中的完全正映射，它们都体现了保持正定性的重要性。 理解正定算子的定义和性质，对于深入理解相关领域有着重要的意义。