函数和序列的逐点性质
对于一个函数序列 {fn(x)}，如果在定义域 D 中的每个点 x，当 n 趋于无穷大时，fn(x) 都收敛于一个确定的值 f(x)，那么我们称 {fn(x)} 逐点收敛 到 f(x)。这意味着，对于定义域中的任何一点 x，序列 {fn(x)} 都是一个数值序列，且这个数值序列收敛于 f(x) 的对应值。需要注意的是，逐点收敛并不保证序列的整体性质，例如连续性，在收敛后的极限函数中也能保持。
类似地，对于一个函数，如果它在定义域的每个点都满足某种性质，如连续性、可微性或可积性，那么我们可以说该函数在“逐点”意义下具有该性质。例如，如果一个函数 f(x) 在其定义域中的每一个点 x 都是连续的，那么我们说 f(x) 在逐点意义下是连续的。
逐点性质与其他性质的比较
逐点性质与其他类型的性质，例如一致收敛，有着显著的区别。一致收敛 比逐点收敛要求更强。对于函数序列 {fn(x)}，如果它一致收敛于 f(x)，则意味着对于任意给定的正数 ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，对于定义域 D 中的所有 x，|fn(x) – f(x)| < ε 都成立。也就是说，对于所有 x，fn(x) 与 f(x) 的差都同时变得足够小。一致收敛保证了极限函数继承序列的许多性质，比如连续性。然而，逐点收敛并不保证这一点。
此外，还有逐点定义的其他概念，例如逐点运算。两个函数逐点相加是指，对于定义域中的每一个点，将这两个函数在该点上的值相加。同样，可以定义逐点乘法、逐点除法等。
逐点性质的应用
逐点性质在许多数学分支中都有应用。在实分析中，理解逐点收敛对于研究函数序列的性质至关重要。在数值分析中，逐点收敛的概念也用于分析数值方法，例如插值和微分方程的数值解。在泛函分析中，点态运算在定义函数空间和研究算子时发挥着重要作用。
结论
“逐点”是一个在数学中非常重要的概念，它提供了一种描述函数和序列性质的方式，其核心在于考察定义域中每个点的值。理解逐点性质与其他更强的性质（如一致收敛）的区别，对于深入理解函数分析和相关的数学领域至关重要。