基本概念
一个域的特征是指使得 1 + 1 + … + 1 = 0（其中 1 出现 n 次）的最小正整数 n，如果不存在这样的 n，则特征为 0。如果域的特征是素数 p，那么 (x + y)p = xp + yp 对于域中的所有元素 x 和 y 都成立。这种性质是纯不可分扩张的关键。
在纯不可分扩张中，扩张的元素不一定是 k 的可分的。这意味着，如果一个元素 α 在 k 上的极小多项式是 Xpn – a，则 α 的导数为 0。这就是“不可分”的来源，因为 α 和其导数之间没有明确的区别。
纯不可分扩张的性质
纯不可分扩张具有一些独特的性质。首先，这种扩张是有限的，也就是说，K 在 k 上的维数有限。其次，纯不可分扩张是正规扩张，但不是可分扩张，除非它本身是平凡的（即 K = k）。
另一个重要的性质是，纯不可分扩张可以通过对域的元素进行 p 次方根来“分解”。具体来说，对于每一个 α ∈ K，存在一个非负整数 n 和一个元素 a ∈ k，使得 αpn = a。这意味着，虽然 α 可能本身不在 k 中，但是它的某个 p 次方幂会在 k 中。这样的扩张可以被分解为一系列更简单的扩张，每个扩张对应于取一个 p 次方根。
纯不可分扩张的应用
纯不可分扩张在代数几何中有着重要的应用，特别是在研究代数簇的 Frobenius 映射时。Frobenius 映射将一个元素 x 映射到 xp，其中 p 是域的特征。Frobenius 映射在有限域上是自同构的，但在特征 p > 0 的域上不是自同构，除非域完美。
在代数数论中，纯不可分扩张也扮演着重要的角色，例如在研究 Galois 理论的时候，纯不可分扩张的Galois群不平凡。
结论
纯不可分扩张是代数中一个重要的概念，特别是在特征为 p > 0 的域中。它们提供了对域扩张的深入理解，并且在代数几何和代数数论中都有重要的应用。理解纯不可分扩张对于研究代数结构的性质至关重要。