引理内容
乔丹引理主要关注如下形式的积分：
∫C f(z) eiaz dz
其中，C是上半平面或下半平面内的半圆或扇形轮廓，a是一个实数，且 a > 0 或 a < 0， f(z) 是一个复变函数。引理的核心内容是：当|z|趋近于无穷大时，如果f(z)在整个半圆或扇形轮廓上趋近于零，那么上述积分在无穷远处的值也趋近于零。
引理应用
乔丹引理最常见的应用是在计算实轴上的积分，其被积函数可以解析延拓到复平面。通过构建一个包含实轴部分和半圆或扇形部分的封闭轮廓，并应用留数定理，可以将一个复杂的积分问题转化为计算有限个留数之和。此方法特别适用于计算一些在实轴上奇异点积分。
例如，考虑计算积分 ∫-∞∞ (eix)/(x2+1) dx。我们可以构造一个上半平面内的半圆轮廓，并将积分转化为沿该轮廓的积分。应用乔丹引理，我们可以证明半圆部分对积分的贡献为零，从而可以将积分简化为计算轮廓内极点的留数。这样可以轻松计算出原始积分的值。
重要性
乔丹引理在复变函数理论中占据重要地位。它不仅提供了一种有效的计算积分的方法，还揭示了复变函数的一些重要性质。它与留数定理结合使用，构成了一种强大的工具，可以解决大量实际问题。乔丹引理的应用范围广泛，涵盖了物理学、工程学、数学等多个领域。
该引理的核心在于它能够将无穷远处的积分行为与函数在无穷远处的衰减联系起来。这为我们提供了研究函数在无穷远处性质的一种重要手段。
结论
乔丹引理是复变函数分析中一个关键的工具，特别是在计算轮廓积分时。它允许我们将复杂的积分问题简化为对留数的计算，从而简化了许多实际问题的解决。通过理解和应用乔丹引理，我们可以更深入地理解复变函数的性质，并在实际问题中更有效地应用数学知识。