定义与基本性质
玻尔环是一种具有二元运算“⋅”的集合，并满足以下三个条件：
- 存在单位元：存在一个元素e，对于所有元素x，都有e ⋅ x = x。
- 拟群性质：对于任意元素a和b，存在唯一的元素x和y，使得a ⋅ x = b 和 y ⋅ a = b。
- 玻尔恒等式：对于所有元素x, y, z，都满足(x ⋅ (y ⋅ z)) ⋅ y = x ⋅ ((y ⋅ z) ⋅ y)。
与群的区别在于，玻尔环通常不满足结合律。这意味着对于任意元素x, y, z，(x ⋅ y) ⋅ z 可能不等于 x ⋅ (y ⋅ z)。但玻尔环通过玻尔恒等式维持了一定的结构性质。
重要特性与应用
玻尔环的结构比群更一般，因此在某些特定情况下，玻尔环可以用来研究那些不满足结合律的结构。例如，在几何学中，玻尔环与三维欧几里得空间中的某些几何结构有关。玻尔环也与某些类型的组合设计相关，例如，与某些类型的扭曲理论相关。
玻尔环的研究有助于我们理解非结合代数结构，并为抽象代数提供了更广阔的研究领域。它们还可以用于构建新的代数结构，并探索不同数学分支之间的联系。
玻尔环的例子
一个简单的玻尔环的例子是具有运算*的实数集合，定义为 x * y = x / (1 – xy)，其中 x 和 y 不等于 1。在这种情况下，单位元是 0。
另一个例子是平面几何中与点相关的三元组运算。考虑在平面上定义一个运算，该运算将三个点 (a, b, c) 映射到第四个点 d，其中 d 是通过几何变换产生的。这个运算通常不满足结合律，但可以满足玻尔环的性质，这取决于特定的变换规则。
结论
玻尔环作为群概念的推广，在抽象代数中占有重要的地位。它提供了一种研究非结合代数结构的工具，并在几何学和组合学中有着重要的应用。虽然玻尔环的定义和性质较为复杂，但对它们的深入理解有助于拓展我们对数学世界的认知。