基本概念
在 n 维欧几里得空间中，一个超平面是一个 n-1 维的仿射子空间。例如，在三维空间中，一个超平面就是一个平面；在二维空间中，一个超平面是一条直线。凸集是指集合中任意两点之间的连线都完全包含在该集合内的集合。
定理内容
超平面分离定理的基本内容是：如果存在两个不相交的非空凸集，那么就存在一个超平面，使得其中一个凸集的所有点都在该超平面的一侧，而另一个凸集的所有点都在该超平面的另一侧。这意味着，这个超平面将这两个凸集完全分离开来。
更精确地说，如果 A 和 B 是欧几里得空间中的两个不相交的凸集，那么存在一个非零向量 w 和一个实数 b，使得对于 A 中的所有 x，都有 ≤ b，并且对于 B 中的所有 x，都有 ≥ b，其中 表示向量 w 和 x 的内积。
弱分离与强分离
除了基本的超平面分离定理，还有弱分离和强分离的概念。弱分离指的是存在一个超平面，使得两个凸集分别位于该超平面的两侧，但允许其中一个凸集的部分点落在超平面上。强分离指的是存在一个超平面，使得两个凸集分别位于该超平面的严格两侧，即两个凸集与该超平面都没有交集。强分离的条件通常更加严格，需要满足一定的条件，例如其中一个凸集是闭的，另一个是紧的。
应用场景
超平面分离定理在多个领域都有着重要的应用：
- 优化问题： 在凸优化中，该定理被用于构建对偶问题，并帮助找到最优解。
- 机器学习： 支持向量机（SVM）的核心思想就是基于超平面分离定理，用于寻找一个最优超平面，将不同类别的数据点分隔开。
- 凸分析： 该定理是凸分析中的一个重要基础，用于研究凸集的性质和行为。
- 经济学： 在经济学中，超平面分离定理可以用于研究消费者的选择和市场的均衡。
结论
超平面分离定理是凸几何学中的一个基本定理，它提供了一种将不相交凸集分隔开来的方法。 该定理在优化、机器学习、凸分析等多个领域有着广泛的应用，为解决实际问题提供了重要的理论基础。