定义
对于 \(1 \le p < \infty\)，索伯列夫共轭 \(p^*\) 定义为：
\[
p^* = \frac{np}{n-p} \quad \text{如果} \quad p < n
\]
\[
p^* = \infty \quad \text{如果} \quad p \ge n
\]
当 \(p = n\) 时，通常使用 \(p^* = \infty\)。这个定义是索伯列夫嵌入定理的核心组成部分。它规定了当函数属于索伯列夫空间 \(W^{1,p}(R^n)\) 时，函数可以嵌入到哪个 \(L^q(R^n)\) 空间。
索伯列夫不等式
索伯列夫不等式为研究偏微分方程提供了有力的工具。它描述了函数与其梯度之间的关系。对于 \(1 \le p < n\)，存在一个常数 \(C\)，使得对于所有属于 \(W^{1,p}(R^n)\) 的函数 \(u\)，以下不等式成立：
\[
\|u\|_{L^{p^*}(R^n)} \le C \|\nabla u\|_{L^p(R^n)}
\]
其中，\(L^q(R^n)\) 表示 \(q\) 次可积函数空间，\(\nabla u\) 是 \(u\) 的梯度。索伯列夫不等式表明，如果一个函数的梯度在 \(L^p\) 空间中是可积的，那么该函数本身在 \(L^{p^*}\) 空间中也是可积的。
重要性
索伯列夫共轭在偏微分方程的研究中至关重要，特别是在研究解的存在性、唯一性和正则性时。通过索伯列夫不等式，我们可以将关于函数梯度的信息转化为关于函数本身的信息。这对于分析非线性偏微分方程尤其重要，例如，在研究纳维-斯托克斯方程和非线性薛定谔方程时。
索伯列夫共轭还用于研究泛函的极小化问题。 在变分法中，通过选择适当的试函数空间和利用索伯列夫不等式，可以证明泛函的极小值存在。
应用举例
考虑泊松方程 \(-\Delta u = f\)，其中 \(f\) 是给定的函数。如果 \(f\) 属于适当的 \(L^p\) 空间，我们可以使用索伯列夫嵌入定理和索伯列夫不等式来研究解 \(u\) 的正则性。
在非线性薛定谔方程的研究中，索伯列夫不等式用于证明能量泛函的守恒律和解的全局存在性。同样，在研究纳维-斯托克斯方程时，索伯列夫不等式被用来控制速度场的正则性，从而分析解的行为。
结论
索伯列夫共轭是索伯列夫不等式中的一个核心概念，它连接了函数的积分和其导数的积分。索伯列夫不等式及其共轭在偏微分方程、变分法和许多其他数学领域中都有着广泛的应用。它提供了一种分析函数行为的有力工具，尤其是在处理非线性问题时。