基本概念
勒贝格可积性的核心在于定义可测函数和可测集。一个函数f是可测的，如果对于任何实数α，集合{x | f(x) > α}是可测的。可测集是定义在某个测度空间上的集合，其“大小”可以用测度来衡量。在勒贝格积分中，测度通常指的是勒贝格测度，它推广了长度、面积和体积的概念。
勒贝格积分的定义
勒贝格积分的构造基于对函数值域的划分，而不是对定义域的划分（如黎曼积分）。对于一个非负可测函数f，其勒贝格积分定义为：
∫f dm = sup ∑_i α_i m(E_i)
其中，E_i是函数f的逆映射在区间[α_i, α_(i+1))下的原像的集合，m是测度，sup表示上确界。
对于一般的函数（可以取正值和负值），我们可以将其分解为正部和负部，然后分别对这两个部分进行积分。如果正部和负部的勒贝格积分都存在且有限，那么该函数就是勒贝格可积的。
可积性的条件
一个函数f在集合E上是勒贝格可积的，当且仅当其绝对值 |f| 在E上是勒贝格可积的。这意味着，如果|f|的积分是有限的，那么f的积分也存在且有限。此外，有一些常用的判断勒贝格可积性的条件：
- 如果一个函数在有界闭区间上连续，那么它在那个区间上是黎曼可积的，因此也是勒贝格可积的。
- 如果一个函数在有界区间上有界，且只有有限个不连续点，那么它也是勒贝格可积的。
- 如果一个函数f是可测的，且|f| ≤ g，其中g是勒贝格可积的，那么f也是勒贝格可积的（控制收敛定理）。
与黎曼积分的关系
勒贝格积分是对黎曼积分的推广。所有黎曼可积的函数都是勒贝格可积的，并且在两者积分值相同。但是，存在勒贝格可积但不是黎曼可积的函数。例如，狄利克雷函数（在有理数为1，无理数为0）在任何区间上都是勒贝格可积的，但不是黎曼可积的。勒贝格积分提供了一个更强大的积分工具，可以处理更广泛的函数类，这在概率论、傅里叶分析和泛函分析中尤其重要。
结论
勒贝格可积性是衡量一个函数是否可以进行勒贝格积分的关键概念。它基于可测函数和可测集，通过对函数值域的划分来定义积分。勒贝格积分相比于黎曼积分，具有更广泛的适用范围，可以处理黎曼积分无法处理的函数，从而在现代数学的许多领域中发挥着重要的作用。