定义
一个局部可积函数f: ℝn → ℝ被称为具有有界平均振荡，如果其BMO范数有限。更精确地说，对于任何一个球B，函数f在B上的平均振荡定义为：
O s c B ( f ) = 1 / | B | ∫ B | f ( x ) − f B | d x
其中|B|表示球B的体积，fB是f在B上的平均值。函数f的BMO范数定义为：
||f||BMO = supB O s c B ( f )
这里的sup取自所有球B。换句话说，BMO范数是函数f在所有球上的平均振荡的上确界。如果||f||BMO < ∞，那么函数f被称为BMO函数。
性质
BMO函数具有一些重要的性质：
- 稳定性：BMO函数在某些运算下具有稳定性。例如，如果f是BMO函数，那么f + c也是BMO函数，其中c是一个常数。
- 局部性：BMO函数的性质是局部的，这意味着BMO函数在局部范围内具有良好的行为。
- 与Hardy-Littlewood极大函数的关系：BMO函数与Hardy-Littlewood极大函数密切相关。通过对极大函数的分析，可以得到关于BMO函数的许多有用的结论。
- 对偶性：BMO空间与H1空间（Hardy空间）是对偶的，这在许多应用中都非常重要。
应用
BMO函数在多个领域都有应用，包括：
- 偏微分方程：在研究某些偏微分方程时，BMO函数经常被用来描述解的性质。例如，在研究Navier-Stokes方程时，BMO空间扮演着重要的角色。
- 概率论：在概率论中，BMO函数可以用来研究鞅和随机过程。
- 图像处理：BMO函数被用于图像处理中的边缘检测和图像去噪。
- 调和分析：BMO函数是调和分析中的一个重要工具，被用于研究奇异积分算子和其他算子的性质。
BMO函数的概念为数学家提供了一种新的工具来分析和理解函数的振荡行为，并且在许多不同的数学领域中都有广泛的应用。
结论
有界平均振荡函数是调和分析中一个重要的概念，它提供了对函数局部振荡程度的量度。BMO函数在多个数学分支和应用领域中都发挥着关键作用，包括偏微分方程、概率论和图像处理。理解BMO函数对于深入研究这些领域至关重要。