定理内容
伊士顿定理主要关注在正规公理化集合论（例如 ZFC）中，幂运算在基数上的取值。更确切地说，它限制了函数 2κ，其中 κ 是一个基数，2κ 代表 κ 的幂集的势。
该定理的主要内容可以被概括为以下几点：对于一个正则基数 λ > ω (ω 是最小的无限序数，也代表自然数集)，如果函数 2κ 对所有 κ < λ 是单调递增的，则对于任意基数 κ ≥ λ，2κ 的值至少为 κ+，即 κ 的后继基数。 换句话说，它对幂集的势在正则基数附近的行为给出了限制。 这意味着，例如，你不能随意定义 2κ 的值，它们必须满足一定的单调性和增长条件。
与连续统假设的关系
伊士顿定理的一个重要推论是，它与广义连续统假设（GCH）是兼容的。GCH 指的是对于所有无限基数 κ，2κ = κ+。伊士顿定理表明，虽然GCH在某些地方可能成立，但在其他地方则可以被违反。 例如，伊士顿定理允许我们构造模型，在这些模型中，对于某些 κ，2κ 的值可以远大于 κ+。这意味着 GCH 不能被 ZFC 证明，并且可以被认为是独立的。
这意味着集合论模型可以拥有不同的幂集大小，并且幂集大小在满足某些限制的条件下可以有多种可能性。 这就允许我们在集合论中构造各种不同的模型。
重要性
伊士顿定理是集合论中一个重要的结果，它加深了我们对基数和幂运算的理解。它展示了在ZFC中，幂运算并非完全任意，而受到一些限制。 通过研究这些限制，数学家们能够更好地理解集合论的结构和模型，以及连续统假设等问题的独立性。 伊士顿定理证明了在 ZFC 的框架内，无法完全确定幂集的势，这为集合论研究提供了更广阔的探索空间。
结论
伊士顿定理揭示了在ZFC集合论框架内，幂运算所遵循的某些规律和限制。它对幂集的势的可能取值进行了约束，并揭示了连续统假设的独立性。 这个定理在集合论领域具有重要的理论意义，加深了我们对基数和集合论模型的理解。