定义与概念
设 K 和 L 为域，且 K ⊆ L。如果 L 中的每一个元素都是 K 上的代数元，那么 L 就是 K 的代数扩张。换句话说，对于 L 中的任意元素 α，都存在一个系数都在 K 中的非零多项式 f(x)，使得 f(α) = 0。如果一个元素不是代数元，则称为超越元。一个域扩张如果不是代数扩张，则称为超越扩张。
重要性
代数扩张在域论中扮演着核心角色。它们在解决许多数学问题中非常重要。例如，代数扩张是有限扩张的自然推广。有限扩张是指作为 K 上的向量空间， L 的维度是有限的。而所有有限扩张都是代数扩张，但反之则不然。代数扩张还与伽罗瓦理论密切相关，伽罗瓦理论是研究多项式方程根的对称性的一个重要分支。
例子
一个常见的代数扩张例子是复数域 C 作为实数域 R 的扩张。因为每个复数都可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，而 i 是虚数单位，满足 i² = -1。对于每一个复数，例如 a + bi，我们都可以找到一个实数系数的多项式，例如 x² – 2ax + (a² + b²) = 0，使得 a + bi 是该多项式的根。另一个例子是，如果 K 是有理数域 Q，那么 Q[√2] 也是 Q 的代数扩张，Q[√2] 由所有形如 a + b√2 的数构成，其中 a 和 b 都是有理数。在这种情况下，对于每一个形如 a + b√2 的数，都存在一个有理数系数的多项式，使其为根。
性质
代数扩张具有一些重要的性质。例如，如果 L 是 K 的代数扩张，M 是 L 的代数扩张，那么 M 也是 K 的代数扩张。这意味着代数扩张具有传递性。另一个重要性质是，代数扩张的复合也是代数扩张。这意味着如果 K1 和 K2 是 K 的代数扩张，那么 K1K2 也是 K 的代数扩张。
代数扩张也与不可约多项式密切相关。如果 f(x) 是 K 上一个不可约多项式，那么 K[x]/(f(x)) 是 K 的一个代数扩张，其中 (f(x)) 是由 f(x) 生成的理想。这种构造提供了一种创建代数扩张的方法。
结论
代数扩张是域论中一个基础且重要的概念，它为理解和解决复杂的数学问题提供了关键工具。它们与有限扩张、伽罗瓦理论和多项式方程密切相关。理解代数扩张对于进一步学习抽象代数和相关领域至关重要。