定义与特性
一个基数κ被称为莱茵哈特基数，如果存在一个非传递模型M，使得κ∈M且M满足“κ是M的基数”，并且存在一个从M到M的非恒等嵌入j，满足j(κ) = κ。换句话说，存在一个“自嵌入”，将集合M映射到它自己，并且这个嵌入保留了κ的性质。这是一种极其强大的自指，会导致许多意想不到的结论。
莱茵哈特基数的定义引出了集合论中的一些深刻问题。由于其自嵌入的性质，莱茵哈特基数与传统的ZFC公理系统不相容。这意味着，如果ZFC系统是一致的，那么莱茵哈特基数的存在将导致ZFC的矛盾。这一结论直接限制了莱茵哈特基数在标准集合论中的应用。
相关概念
由于莱茵哈特基数与ZFC不相容，数学家们发展了相关的概念，如“准莱茵哈特基数”。准莱茵哈特基数满足莱茵哈特基数的定义，但放宽了对自嵌入的一些要求，从而允许它们在更广泛的集合论环境中存在。这些修改后的基数尝试在不引发矛盾的前提下，捕捉到莱茵哈特基数的某些关键特性。
除了准莱茵哈特基数，还有其他大型基数与莱茵哈特基数相关，例如“超紧基数”和“伍德林基数”。这些基数在不同程度上与莱茵哈特基数共享某些性质，并构成了大型基数研究中的重要组成部分。它们的研究有助于我们理解集合论的结构和一致性。
研究意义
莱茵哈特基数的研究对于集合论的哲学和技术方面都具有重要意义。它们挑战了我们对集合论基础的理解，并促使我们思考数学结构的极限。探索莱茵哈特基数以及与它们相关的其他大型基数有助于我们构建更加强大和灵活的集合论系统。它们推动了集合论的发展，促使我们对无穷、一致性和可达性等概念进行更深入的思考。
虽然莱茵哈特基数本身与ZFC不相容，但对它们的研究促进了对其他大型基数性质的理解，并促使了新的公理系统和模型的创建。这有助于我们探索数学的边界，并深化对数学本身的理解。
结论
莱茵哈特基数作为一种大型基数，代表了集合论研究中的一个重要课题。尽管它们与ZFC公理系统不相容，但它们激发了数学家们对集合论基础进行更深入的探索。对莱茵哈特基数及其相关概念的研究，极大地推动了集合论的发展，并促进了我们对无穷、一致性和数学结构的极限的理解。