定义与性质
结合代数是线性代数和环论的结合。更具体地说，它是一个向量空间（或模），并且定义了一个乘法运算，使得该乘法运算满足结合律和分配律，并且与标量乘法兼容。这种结构允许我们同时考虑环和向量空间（或模）的性质。 结合代数在数学的许多领域中都起着重要的作用，特别是在群表示论、李代数、泛包络代数和算子代数中。
形式定义
一个在域 K 上的结合代数 A 是一个同时具备以下特征的结构：
- A 是一个域 K 上的向量空间。
- A 是一个环，具有加法和乘法运算。
- 乘法运算与标量乘法兼容，即对于所有 a, b ∈ A 和所有 c ∈ K，有 c(ab) = (ca)b = a(cb)。
如果 A 中还存在一个单位元 (1)，则称为单位结合代数，满足 1a = a1 = a，对于所有 a ∈ A。如果 A 的乘法运算是可交换的，则称为交换结合代数。
例子
有很多结合代数的例子，它们在不同的数学分支中都有应用：
- 实数域上的 n × n 矩阵的集合，配备矩阵加法和矩阵乘法。
- 多项式环 K[x] 在域 K 上。
- 群代数，它是从一个给定的群构造的代数。
- 张量代数和外代数，用于构建各种几何对象和结构。
应用
结合代数在物理学中也有广泛的应用，尤其是在量子力学中。例如，自旋算子和动量算子构成了生成量子力学代数的基本元素。海森堡代数在量子场论中起着关键作用。此外，结合代数在编码理论和计算机科学中也有应用。
相关概念
结合代数与其他代数结构密切相关。例如，李代数与结合代数相关，李代数可以通过结合代数中的换位子运算定义。此外，结合代数也与非结合代数有关。一个代数，如果其乘法不满足结合律，则称为非结合代数。非结合代数的例子包括李代数和约当代数。
结论
结合代数是数学中的一个基本概念，它将线性代数的结构与环论的结构结合起来，提供了研究代数结构和相关应用（包括量子力学和计算机科学）的强大工具。 它们在数学和物理学中扮演着重要的角色，并且是进一步研究其他更复杂代数结构的基础。