定义与基本性质
一个拟有限域是一个域，其有限扩张的伽罗瓦群是循环群。换句话说，对于拟有限域F的任何有限扩张K/F，Gal(K/F)都是循环群。这意味着，对于一个拟有限域，其有限扩张的结构比较简单，易于研究。有限域是拟有限域的特例，因为有限域的任何有限扩张都是循环扩张。
拟有限域的一个重要性质是，它与有限域在某些方面具有相似的性质。例如，对于一个拟有限域F，存在一个唯一的有限扩张，其次数为n，对于每个正整数n。
与其他概念的关系
拟有限域的概念与局部域、全局域以及类域论有着密切的联系。局部域是指完备的非阿基米德赋值域，局部域的剩余域通常是一个有限域。全局域是指有限域上的代数函数域或代数数域。类域论研究的是域的有限阿贝尔扩张的结构，特别是局部类域论研究的是局部域的扩张。拟有限域可以被看作是局部类域论研究中，对有限域的一种推广。
拟有限域的概念也有助于理解一些更广泛的代数结构。例如，研究带有给定伽罗瓦群的域扩张的问题，有时会用到拟有限域的性质。
应用领域
拟有限域在多个数学分支中都有应用：
- 代数数论：在研究数域的扩张和zeta函数时，拟有限域的概念可以用来分析局部域的性质。
- 算术几何：拟有限域在研究代数簇的有限域上的点时，具有重要的作用。特别是在研究椭圆曲线和阿贝尔簇时。
- 类域论：拟有限域为推广类域论提供了基础，有助于研究更一般的域扩张。
结论
拟有限域是对有限域概念的推广，在代数数论和算术几何中具有广泛的应用。它们为研究域的有限扩张提供了有力的工具，并有助于我们更深入地理解局部类域论。尽管拟有限域不如有限域常见，但它们在解决特定问题时，具有重要的作用，并且仍在不断地被研究。