定义与基本概念
为了理解可容许序数，首先需要了解几个关键概念：
- 序数： 序数是良序集合的序类型。它们代表了集合的“大小”和“位置”。
- Lα： 这是由序数α索引的累积层次，代表了在集合论宇宙中通过累积构造得到的集合。
- Kripke-Platek公理 (KP)： 这是集合论的一组公理，Kripke-Platek集合论是ZF集合论的一个弱化版本，移除了无穷公理和幂集公理。
- 可容许集合：一个传递集合M被称为可容许集合，如果它满足Kripke-Platek公理。
因此，可容许序数本质上是“在Lα中，集合论的结构是良好构建的”的序数。
性质
可容许序数具有许多重要的性质。其中一些包括：
- 可容许序数总是极限序数，这意味着它们不能是后继序数。
- 如果α是可容许序数，那么Lα是一个传递集合，并且满足Kripke-Platek公理。
- 可容许序数的集合是无界的，这意味着对于任何序数，总存在一个比它更大的可容许序数。
- 可容许序数与递归论密切相关。例如，对于任何递归可枚举的集合，都有一个可容许序数，该集合在Lα中是可定义的。
例子
一些可容许序数的例子包括：
- ω，自然数的序数，是第一个可容许序数。
- ω1，第一个不可数序数，也是可容许序数。
- ω2，第二个不可数序数，通常不是可容许的。
- 第一个大于ω的传递闭包的极限序数也是可容许的。
应用
可容许序数在集合论和相关的数学分支中有着广泛的应用。它们被用来研究模型的结构，确定集合论命题的证明复杂性，以及构建各种数学结构。
例如，在证明论中，可容许序数被用来为形式系统提供序数，这些序数可以用来测量证明的“复杂性”。在递归论中，可容许序数与递归结构和可计算性相关。在模型论中，它们被用来研究集合论模型的结构。
结论
可容许序数是集合论中一个重要的概念，它们为研究集合论的结构和性质提供了有力的工具。 它们与递归论和模型论有着紧密的联系，并在这些领域中发挥着关键作用。 了解可容许序数对于深入理解集合论的底层原理至关重要。