基本概念
在了解奇异基数假设之前，我们需要先理解几个核心概念。基数代表集合的大小，而序数则代表集合中元素的排列顺序。例如，自然数的集合可以用基数 ℵ₀（aleph-null）来表示，而实数的集合则可以用基数 2ℵ₀ 来表示。一个基数的幂表示该基数的幂集的大小，例如，如果一个集合的基数为 x，那么它的幂集的基数通常记为 2x。
奇异基数是指不能被写成更小的基数的极限的基数。例如，ℵω（aleph-omega）就是一个奇异基数，因为ω是第一个无穷序数，ℵω是所有ℵn (n<ω)的极限。而正则基数不是奇异基数，例如ℵ₁ (aleph-one) 就是一个正则基数。
奇异基数假设的提出
奇异基数假设最初是由数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆提出的。它的一个重要推论是：对于任何奇异基数 κ，如果 2λ=λ+ 对于所有 λ < κ，那么 2κ=κ+。其中，λ+ 代表λ的后继基数，即紧接着 λ 的基数。换句话说，奇异基数假设试图描述奇异基数的幂的性质，它规定了奇异基数的幂与比它小的基数的幂之间应该遵循怎样的关系。
与连续统假设的关系
奇异基数假设与连续统假设（CH）密切相关，后者是关于实数集的基数，即2ℵ₀是否等于ℵ₁的假设。连续统假设在集合论中是不可判定的，也就是说，它既不能被证明，也不能被证伪，这表明在不同的集合论模型中，可以有不同的结果。奇异基数假设在某种程度上推广了连续统假设，它关注的是更大基数的幂的性质，这使得研究集合论中的无穷大问题变得更加复杂。
奇异基数假设的研究现状
目前，奇异基数假设的研究仍然是一个活跃的领域。数学家们尝试在ZFC公理系统（Zermelo-Fraenkel集合论，加上选择公理）的基础上研究奇异基数假设的真伪。虽然奇异基数假设本身也是不可判定的，但数学家们在探索其可能的推论、与其他集合论命题的关系以及在不同模型中的表现。研究主要集中在利用强迫方法构造不同的模型，并分析奇异基数假设在这些模型中的行为。
结论
奇异基数假设是一个在集合论中极具挑战性的问题。它涉及对无穷集合大小的深刻理解。虽然它本身是不可判定的，但对它的研究促进了我们对集合论和数学基础的深入理解。未来，对奇异基数假设的深入研究将有助于我们揭示集合论中更多未知的奥秘。