定义
假设 和 是两个幺半范畴。设 和 是两个函子，它们分别是 和 之间的函子。幺半伴随是指一个伴随关系
其中 和 分别是 的左伴随和右伴随。 此外，还需要满足一些额外的条件，即这些函子必须是“幺半的”，或者说是与幺半范畴的幺半结构兼容。
幺半函子
幺半函子是幺半范畴之间的态射，它保持了幺半范畴的幺半结构。具体来说，一个幺半函子 从幺半范畴 到 需要配备一个态射
从 到 ，其中 和 分别是 和 的单位对象。同时，对于 中的任意对象 和 ，还需要存在一个自然的态射
这个态射需要满足一些相容性条件（结合律和单位律），以确保 与幺半结构兼容。 类似地，函子 也需要是幺半的。
幺半伴随的条件
为了使伴随成为幺半伴随，函子 和 不仅需要是伴随关系，还需要满足额外的相容性条件。具体来说，自然双射
必须与幺半结构兼容。 这通常通过要求存在一些自然同构来实现，例如，需要定义一个自然的幺半结构同构
以及与之对应的其他同构。这些同构需要满足一系列的相容性条件，确保幺半结构得到保持。
应用
幺半伴随在许多数学和理论计算机科学领域都有应用。例如，在范畴论中，幺半闭范畴的构造就依赖于幺半伴随。 在理论计算机科学中，幺半伴随可以用于建模计算的类型系统和编程语言的语义。它提供了一种将不同的计算模型联系起来的框架，并有助于理解它们之间的关系。
例子
一个常见的例子是指数对象函子的伴随。 考虑一个幺半闭范畴，其中 是一个对象。 我们可以定义一个函子 ，它将一个对象 映射到指数对象 。 它的右伴随是函子 ，它将一个对象 映射到 。 这个伴随关系可以被证明是幺半的，并且具有重要的应用。
结论
幺半伴随是幺半范畴之间的一种重要的关系，它将伴随理论扩展到了幺半范畴的框架。 它需要函子是幺半的，并满足与幺半结构相容的额外条件。 幺半伴随在数学和理论计算机科学中都有重要的应用，例如在范畴论的构造和编程语言语义的建模中。