定义
给定一个范畴 C 和一个索引集合 I，我们可以构造一个函子范畴 CI。对角函子将一个对象或态射映射到由该对象或态射在所有索引处组成的“对角线”对象或态射。形式上，对角函子通常表示为 Δ: C → CI。
对于一个对象 X ∈ C，对角函子将其映射到由所有索引处的 X 组成的“元组”，即 Δ(X) = (Xi)i∈I，其中 Xi = X。对于一个态射 f: X → Y，对角函子将其映射到由所有索引处的 f 组成的“元组”，即 Δ(f) = (fi)i∈I，其中 fi = f。
特性
对角函子的性质取决于索引集合 I 的选择。当 I 是一个有限集合时，对角函子通常与积有关。例如，如果 I = {1, 2}，则对角函子将一个对象 X 映射到 (X, X)，这可以视为 X 与自身的积。 对角函子经常与其他函子相互作用，例如极限函子和余极限函子。
对角函子在范畴论中扮演着至关重要的角色，尤其是在处理极限和余极限时。它为构建和理解这些重要的构造提供了基础。
应用
对角函子在范畴论的各个领域都有广泛的应用，例如：
- 极限和余极限的定义： 对角函子可以用于定义极限和余极限。极限是作为某个函子的对角函子的右伴随函子，余极限则是作为某个函子的对角函子的左伴随函子。
- 构造新的范畴：通过对角函子，我们可以从已知的范畴中构造出新的范畴，例如乘积范畴和指数范畴。
- 研究范畴之间的关系：对角函子可以用来研究不同范畴之间的关系，例如通过研究它们的伴随函子。
例子
考虑范畴 Set，其对象是集合，态射是函数。如果 I = {1, 2}，那么对角函子 Δ: Set → Set{1,2} 将一个集合 X 映射到 (X, X)，一个函数 f: X → Y 映射到 (f, f)。这说明对角函子在集合范畴中如何将集合和函数“复制”到笛卡尔积中。
结论
对角函子是范畴论中一个重要的基本概念，它提供了一种将范畴内的对象和态射进行“复制”并组合的方法。它在定义和理解极限、余极限以及构建新的范畴方面起着关键作用。对角函子的应用广泛，是研究范畴论的不可或缺的工具。