定义
假设 X 是范畴 C 中的一个对象，且积 X × X 存在。对角态射，通常记为 Δ (delta) 或 diag，是从 X 到 X × X 的一个态射，即 Δ: X → X × X。它满足以下性质：对于任何对象 Y 和态射 f: Y → X 以及 g: Y → X，存在唯一的态射 h: Y → X，使得由 h 导出的对偶态射等于 (f, g)。
构建
对角态射可以通过积的泛性质来定义。具体而言，对于任何对象 X，考虑其积 X × X。对角态射 Δ: X → X × X 可以定义为 Δ = <1X, 1X>，其中 1X是 X 的恒等态射。换句话说，对角态射将对象 X 映射到其自身的一个“副本”的有序对（x, x）。
重要性
对角态射在范畴论中具有多种重要意义：
- 连接积与上积： 对角态射与乘积、上积之间存在密切关系。它使得我们可以从范畴的积构造出纤维积，也可以帮助我们理解其他的泛构造。
- 研究函子： 对角态射可以用于研究函子的性质，特别是伴随函子的性质。
- 拓扑学应用： 在拓扑范畴中，对角态射与对象的“对角线”的概念相对应，它允许我们研究拓扑空间的性质，例如Hausdorff 性质等。
性质
对角态射具有以下重要性质：
- 幺半性： 如果范畴C具有积，那么对角态射是唯一确定的。
- 与积的兼容性： 对角态射与积的投影态射（例如，从 X × X 到 X 的态射）之间满足特定的交换图表关系。
例子
在集合范畴（Set）中，对角态射将集合 X 的每个元素 x 映射到有序对 (x, x)。在拓扑空间范畴（Top）中，对角态射将空间 X 的每个点 x 映射到对角线，即 X × X 中的 {(x, x) | x ∈ X}。在群范畴（Grp）中，对角态射将群 G 的每个元素 g 映射到 (g, g)。
结论
对角态射是范畴论中的一个核心概念，它在定义和理解积、上积等结构方面起着关键作用。通过对角态射，我们可以更深入地研究范畴的性质，并建立不同范畴之间的联系。 了解对角态射有助于我们理解更复杂的范畴论概念，并在不同的数学领域中找到应用。