引理的陈述
设 0 → A → B → C → 0 是阿贝尔范畴中的一个短正合序列。令 P 为一个投射对象，并且 f: P → C 是一个满态射。那么，存在一个投射对象 P，以及态射 g: P → B 和 h: P → A，使得以下图表交换，并且 P⊕P 的映射分解构成了 B 的一个分解。
0 → A → B → C → 0
↑ ↑ ↑
P → P⊕P → P
其中 P → P⊕P 将 P 映射到 (0, P)，而 P⊕P → P 映射到 (P, 0) + g。这表明，对于 C 的一个分解，可以构造 B 的一个分解，该分解依赖于 A 的分解和 C 的分解。
引理的应用
马蹄引理在同调代数中有着广泛的应用，特别是在研究函子的分解和同调群的计算时。以下是几个重要的应用：
- 分解的存在性：马蹄引理保证了对于阿贝尔范畴中的任何短正合序列，都可以构建分解。这对于计算同调群至关重要，因为分解为计算同调提供了工具。
- 投射分解的构造：利用马蹄引理，可以从短正合序列开始，构造投射分解。这对计算 Ext 函子和 Tor 函子非常有用。
- 函子的性质：马蹄引理有助于研究左正合函子和右正合函子的性质。通过构造分解，可以更深入地理解这些函子在同调理论中的作用。
- 同伦范畴：在同伦范畴中，马蹄引理也发挥着作用，因为它提供了关于链复形构造的关键信息。
引理的证明简述
马蹄引理的证明通常涉及以下步骤：首先，由于 f: P → C 是满态射，且 P 是投射的，所以存在一个态射 g: P → B，使得 f∘g = idC。然后，将 B 分解为 g(P) 和 Ker(f)。接着，利用 A 的分解和 C 的分解，可以构建 B 的一个分解。该分解是 A 的分解和 C 的分解的直和，通过映射构造了 B 的分解。
具体来说，假设 C 有一个投射分解，记为 P(C)。由于映射 f: B → C 是满射，我们可以通过将 C 的分解映射到 B，从而得到一个分解。马蹄引理则表明可以找到一个B的分解，使得这个分解与A和C的分解相关联。这意味着 B 的分解可以由 A 的分解和 C 的分解构建而成，并保证了分解的交换性。
结论
马蹄引理是同调代数中的一个基本结果，它为理解分解的结构提供了重要的工具。它允许我们从短正合序列构造分解，从而简化了复杂的同调计算。马蹄引理的应用广泛，涵盖了分解构造、函子研究以及同伦范畴的分析。理解并掌握马蹄引理，对于深入学习同调代数至关重要。