基本概念
群由一个集合和定义在其上的一个二元运算组成，需要满足四个基本公理：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。当群的元素数量是无限的时候，这个群就称为无限群。例如，整数集合在加法运算下构成一个无限群，实数集合在加法运算下也是一个无限群。
重要性质
无限群展现出许多不同于有限群的特殊性质。例如，无限群可以包含无限子群。这意味着，无限群中可以找到由无限多个元素组成的群，这些子群也满足群的四个公理。无限群还可以具有复杂的结构，例如，可以包含正规子群，这些子群对于研究群的结构和性质至关重要。
常见的无限群的例子
- 整数加群 (Z, +): 整数集合以及加法运算构成的群。
- 实数加群 (R, +): 实数集合以及加法运算构成的群。
- 非零实数乘群 (R*, *): 所有非零实数以及乘法运算构成的群。
- 一般线性群 (GL(n, R)): 所有 n × n 可逆实矩阵组成的群，运算为矩阵乘法。
研究方法
研究无限群的方法多种多样。 群论学家使用各种工具来分析它们的结构，包括子群的性质、商群、群的表示理论等。群的表示理论是研究群的重要工具，它将群的元素表示为线性变换，从而可以用线性代数的方法来研究群。 此外，近年来，计算机代数在群论研究中也发挥了越来越重要的作用，特别是在处理复杂的计算和探索新的群结构时。
应用
无限群在数学和物理学中都有广泛的应用。 例如，在抽象代数、拓扑学、几何学和密码学中都有应用。 在物理学中，群论被用来研究对称性，特别是在量子力学和粒子物理学中。对称性可以用群来描述，而无限群在描述连续对称性方面尤其重要。 例如，平移、旋转等对称性可以用无限群来描述，这使得人们可以更好地理解物理现象。
结论
无限群是群论中一个重要的研究对象。研究无限群，有助于我们更深入地理解数学结构，并在物理学等领域中找到应用。 随着数学研究的不断深入，对无限群的研究也将持续发展，并为理解更广泛的数学和物理现象提供新的视角。