基本概念
设 M 是一个在主理想整环 R 上的有限生成模。R 上的一个初等因子，是指 R 中一个不可约多项式 p(x) 的幂 p(x)k，其中 k 是一个正整数。这些初等因子在一定程度上刻画了模 M 的结构。
结构定理
有限生成模的结构定理表明，任何在 PID 上的有限生成模 M，都可以被分解为有限个循环模的直和。具体来说，M 同构于一些形如 R/(p(x)k) 的循环模的直和，其中 p(x) 是 R 中一个不可约多项式，k 是一个正整数，而 R/(p(x)k) 表示商模。这些 p(x)k 就是 M 的初等因子。每个初等因子都对应于一个循环子模。
计算初等因子
计算一个模的初等因子通常涉及寻找模的表示矩阵。例如，如果 M 是一个有限生成阿贝尔群（可以视为 Z 上的模），那么可以通过对表示矩阵进行斯密斯范式分解来找到其初等因子。斯密斯范式是一种对角矩阵，其对角线上的元素就是初等因子。 对于更一般的模，可以使用类似的方法来找到初等因子。
重要性
初等因子对于理解模的结构至关重要。它们提供了关于模的秩和扭转子群的信息。例如，模的秩是其自由子模的秩，而扭转子群由那些被零元所消灭的元素构成。初等因子可以用来确定模的同构类。如果两个有限生成模的初等因子相同，那么它们是同构的。
应用
初等因子在许多代数领域都有应用。例如，在线性代数中，它可以用来研究矩阵的相似性和约当标准型。约当标准型是将矩阵分解为分块对角矩阵，其中每个分块对应于一个特征值及其相关的初等因子。 在群论中，初等因子可用于分析有限阿贝尔群的结构，这些群可以分解为循环群的直积。 此外，它们在编码理论和密码学中也有应用。
例子
考虑 Z 上一个有限生成阿贝尔群。如果其初等因子为 2, 2, 3, 5，这意味着该群同构于 Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z/3Z ⊕ Z/5Z。这个群的结构完全由其初等因子决定。另一个例子，考虑一个矩阵在复数域上的约当标准型，矩阵对应的特征多项式和最小多项式可以用来确定矩阵的初等因子，进而确定其约当标准型。
结论
初等因子是代数中一个强大的工具，用于研究模的结构。它们提供了一种标准形式，并揭示了模的秩、扭转子群以及其他关键性质。通过计算初等因子，我们可以确定模的同构类，并更好地理解其代数结构。它们的应用涵盖了线性代数、群论等多个领域，是理解代数结构不可或缺的一部分。