背景知识
3-流形是局部看起来像三维欧几里得空间的拓扑空间。封闭的3-流形是指紧致且不带边界的3-流形。基本群是一种用于描述拓扑空间“孔洞”的代数工具。一个群被称为曲面子群，如果它同构于一个封闭曲面的基本群。理解3-流形的基本群对于研究3-流形的几何和拓扑性质至关重要。
猜想的陈述
Waldhausen的曲面子群猜想的核心在于它描述了3-流形的基本群与曲面的内在联系。 该猜想表明，对于每一个封闭的、不可约的3-流形 M，其基本群 π₁(M) 必然包含一个子群，这个子群同构于某个封闭曲面的基本群，也就是说，存在一个封闭曲面 S，使得 π₁(S) 是 π₁(M) 的子群。这个猜想暗示了3-流形内部隐藏着曲面的结构。
重要性与影响
曲面子群猜想的重要性在于，如果它成立，则可以为我们提供关于 3-流形基本群的更深入的理解。 这将有助于我们将 3-流形分类，并理解它们之间的关系。 这个猜想的解决将推动几何、拓扑学和群论的重大进展，因为它将有助于我们更好地理解3-流形的结构。 对于那些寻求理解宇宙形状的数学家和物理学家来说，3-流形的几何结构也是一个相关的研究课题。
研究进展
虽然曲面子群猜想是一个非常重要的数学问题，但它并未完全得到证明。对于某些类型的 3-流形，例如 Haken 流形，该猜想已经得到证明。 Haken 流形是一类具有良好分解性质的 3-流形，这意味着它们可以被沿着嵌入的曲面切割成更简单的块。然而，对于更一般的 3-流形，该猜想的证明仍然是一个开放的问题。目前，数学家们正在继续研究该猜想，并探索新的方法来解决它。 这些方法包括运用几何方法、代数方法以及计算方法。
结论
曲面子群猜想是几何群论中一个引人入胜的问题，它揭示了3-流形与曲面之间的深刻联系。 尽管该猜想尚未完全解决，但它在推动数学研究方面发挥了重要作用。 解决该猜想将极大地促进我们对3-流形的理解，并对几何学、拓扑学和群论产生深远影响。