定义
设 F : C → D 是一个函子，其中 C 和 D 是范畴。F 是本质满射的，如果对于 D 中的每一个对象 Y，都存在 C 中的一个对象 X，使得 F(X) 与 Y 在范畴 D 中同构。换句话说，函子 F 覆盖了目标范畴 D 中的所有对象，至少是在同构的意义上。
重要性
本质满射函子在范畴论中扮演着重要的角色。它们常被用于证明某些构造是“充分的”，即能够生成目标范畴中的所有对象。它们也与范畴的“完备性”和“共完备性”等概念相关联。在某些情况下，研究本质满射函子的性质可以帮助我们理解不同范畴之间的关系。
例如，一个满射函子，如果同时是完全的并且忠实的，那么它建立了范畴之间的等价关系。本质满射性是建立范畴之间等价关系的必要条件之一。
例子
考虑从向量空间范畴到集合范畴的遗忘函子。此函子将每个向量空间映射到其底层的集合，并忘记了向量空间的线性结构。这个遗忘函子是本质满射的，因为对于任何集合，我们都可以构造一个向量空间，其底层集合与给定的集合相同（例如，可以通过定义零向量空间）。
另一个例子是，从一个小范畴到它的伴随范畴的包含函子，在很多情况下都是本质满射的。这意味着，我们可以用较小的范畴的对象来“表示”较大范畴的对象，从而简化研究。
与满射的区别
需要注意的是，本质满射函子不同于满射函子。对于一个满射函子来说，对于目标范畴 D 中的每一个对象 Y，都必须存在源范畴 C 中的一个对象 X，使得 F(X) = Y。而对于本质满射函子，我们只需要 F(X) 与 Y 同构即可。换句话说，本质满射更宽松一些。
结论
本质满射函子是范畴论中一个重要的概念，它描述了函子在“覆盖”目标范畴对象的能力。理解本质满射函子的定义、性质以及与其他函子的关系，对于深入研究范畴论及其在数学中的应用至关重要。