定义
九点圆是穿过三角形以下九个点的圆：
- 三边的中点
- 三个顶点到对边的垂线的垂足
- 连接三角形的顶点和垂心（三条高线的交点）的线段的中点
性质
九点圆有几个重要的性质。首先，它穿过上述九个点，这构成了它的基本定义。其次，九点圆的圆心（九点圆的中心）位于欧拉线上，并且是三角形的外心和垂心中点之间的中点。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，而垂心是三角形三条高的交点。第三，九点圆的半径是外接圆半径的一半。此外，九点圆与内切圆和三个旁切圆相切，这意味着九点圆与这四个圆都只有一个共同点。
历史
九点圆的概念最早由德国数学家卡尔·威廉·费尔巴哈于1822年发现，因此九点圆有时也被称为费尔巴哈圆。然而，实际上九点圆的某些性质早于费尔巴哈的研究就已被其他数学家发现。费尔巴哈的主要贡献在于证明了九点圆与其他圆，特别是与内切圆之间的切线关系。
应用
九点圆不仅在纯粹几何学中有重要的理论价值，也在解决几何问题和进行几何构造中发挥着作用。例如，通过构造九点圆，可以更容易地确定三角形的一些关键几何点的位置和关系。在几何学教学中，九点圆通常被用作一个引人入胜的例子，来说明几何图形的内在联系和性质。九点圆也为几何学家提供了探索更复杂几何结构的基础。
与欧拉线和外心的关系
九点圆与欧拉线和外心有着密切的关系。欧拉线是穿过三角形的重心、外心和垂心的直线。九点圆的圆心位于欧拉线上，并且是外心和垂心中点之间的中点。这意味着欧拉线、外心和九点圆的圆心都共线。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心。
结论
九点圆是几何学中一个重要的概念，它揭示了三角形内各种关键点之间的深刻联系。九点圆不仅具有丰富的几何性质，也为解决几何问题提供了有效的工具。其独特的定义和与欧拉线、外心等几何元素的密切关系，使其成为几何学研究中一个引人入胜的课题。