定义与性质
L-规约是一种特殊的规约，它定义了两个优化问题之间的关系。假设存在两个优化问题A和B。一个从问题A到问题B的L-规约，需要满足以下两个条件：
- 规约计算：存在一个多项式时间算法，将问题A的实例x转化为问题B的实例f(x)。
- 解的映射：存在一个多项式时间算法，将问题B在实例f(x)上的解y映射到问题A在实例x上的解g(y)。
此外，L-规约还要求满足一个关键的性质：近似比的保持。如果A的一个解的代价是OPT_A，B的一个解的代价是OPT_B。那么，存在两个常数α和β，使得:
1. OPT_B ≤ α * OPT_A
2. |OPT_A – Cost(g(y))| ≤ β * |OPT_B – Cost(y)|
其中Cost(X)表示解X的代价。
L-规约的应用
L-规约主要用于证明一个问题是NP难的，以及设计近似算法。通过L-规约，可以将一个已知NP难问题的性质传递给另一个问题。例如，如果问题A是NP难的，并且存在一个从A到B的L-规约，那么问题B也是NP难的。这有助于确定哪些问题无法在多项式时间内找到精确解。
在设计近似算法方面，L-规约允许将一个问题的近似解转化为另一个问题的近似解。如果问题B有一个具有近似比ρ的近似算法，并且存在一个从A到B的L-规约，那么可以使用这个L-规约和问题B的近似算法来构造问题A的一个近似算法。L-规约保证了近似比的传递，使得构造的近似算法的近似比与问题B的近似算法的近似比有关。
与其他规约的区别
L-规约是许多规约方法中的一种，它在保持近似比方面具有独特的优势。与传统的图灵规约或多项式时间规约不同，L-规约更专注于保持解的近似质量。在实际应用中，L-规约通常与其他规约方法结合使用，以解决复杂的优化问题。它的线性性质也使得分析和理解变得相对简单。
结论
L-规约是一种重要的规约技术，在近似算法的设计和分析中起着关键作用。它通过在两个优化问题之间建立联系，促进了近似解的传递，有助于理解问题的复杂性，并为设计有效的近似算法提供了理论基础。虽然实现起来可能需要一些技巧，但在处理NP完全问题时，L-规约仍然是一个非常有用的工具。