定义与性质
射影变换通常用坐标表示。在 n 维射影空间中，射影变换可以表示为一个非奇异的 (n+1) x (n+1) 矩阵，它作用于齐次坐标向量。这意味着，如果一个点在齐次坐标系中的坐标为 X，那么经过射影变换后，它的新坐标 X’ 可以表示为 X’ = AX，其中 A 是一个非奇异矩阵。由于齐次坐标具有尺度不变性，因此矩阵 A 乘以一个非零常数，仍然定义同一个射影变换。射影变换保持了射影几何的基本性质，如交比不变。
关键概念
射影变换的核心概念包括：
- 保线性： 射影变换将直线映射到直线。
- 保平面性： 射影变换将平面映射到平面。
- 双射性： 射影变换是双射，即一一对应。这意味着每个点在变换后有唯一的像，并且每个像都有唯一的原像。
- 交比不变性： 射影变换保持了交比不变，交比是四个共线点的特定比率，是射影几何中最重要的不变量之一。
应用
射影变换在许多领域都有广泛的应用，包括：
- 计算机视觉： 在图像处理和计算机视觉中，射影变换被用于图像校正、全景图像拼接和三维重建。例如，通过对图像进行射影变换，可以消除透视变形，从而将倾斜的图像校正为正面视图。
- 计算机图形学： 射影变换在三维图形的投影和渲染中起着关键作用，允许将三维场景投影到二维屏幕上。
- 几何学： 射影变换是射影几何学的基本工具，用于研究各种几何结构和性质。
- 摄影测量学： 在摄影测量中，射影变换用于将图像数据转换为地理信息，从而进行地图绘制和测量。
与其它变换的关系
射影变换是更广泛的几何变换家族的一部分。例如，仿射变换是射影变换的一个子集，保持了平行性。欧几里德变换（刚体变换，包括旋转和平移）又是仿射变换的一个子集，保持了距离和角度。理解这些变换之间的关系有助于更深入地理解各种几何问题。射影变换提供了最一般的几何变换，而其它的变换都可以看作是更受限制的射影变换。
结论
射影变换是射影几何学中一个基础而重要的概念，它保持了点、线和平面之间的共线性关系。它在许多领域都有广泛的应用，包括计算机视觉、计算机图形学、几何学和摄影测量学。了解射影变换的定义、性质以及与其他几何变换的关系，对于深入理解相关领域具有重要意义。