定义
NEC群是双曲平面H²或其边界的等距变换的离散子群。其中，等距变换包括保向等距变换（例如平移和旋转）和反向等距变换（例如反射）。与欧几里德晶体群不同，NEC群允许反射操作，这使得它们的研究更加复杂，但也带来了丰富的几何结构。
性质
NEC群具有许多重要的性质。首先，它们是离散群，这意味着群中的元素在拓扑上是分离的。其次，它们具有有限的生成元，并且满足一定的关系。这些性质使得我们可以通过代数方法来研究NEC群的结构。第三，NEC群与双曲曲面之间存在重要的对应关系。每个NEC群都可以用来构造一个双曲曲面，反之亦然。这些曲面可以是紧致的，也可以是非紧致的，这取决于群的具体结构。
分类
NEC群的分类是一个复杂的课题。大致上，可以按照群的紧致性、有限性以及是否包含反射等标准进行分类。紧致的NEC群对应于紧致的双曲曲面，而非紧致的NEC群对应于非紧致的双曲曲面。包含反射的NEC群与不包含反射的NEC群在几何结构上有所不同。此外，NEC群可以根据其几何性质进一步细分，例如根据其基本区域的形状来划分。
应用
NEC群在多个领域都有应用。在几何学中，它们用于构造和研究双曲曲面，并可以用来研究曲面的几何性质，如亏格、面积等。在群论中，NEC群提供了丰富的例子，可以用于研究群的结构和性质。在数学物理学中，NEC群与共形场论和弦理论等领域有着联系，并可以用来研究物理系统的对称性。此外，NEC群还可以用于计算机图形学和图像处理中，例如用于纹理映射和几何建模。
结论
非欧几里德晶体群是数学中一个重要的研究领域，它提供了对双曲几何的深刻理解，并在多个科学领域中具有广泛的应用前景。对NEC群的研究仍在继续，新的发现不断涌现，丰富了我们对几何世界和对称性的认识。