极线几何
极线几何是理解基础矩阵的关键。当一个场景被两个或多个相机拍摄时，每个相机都会产生一个图像。一个图像中的一个点，会在另一个图像中对应到一条极线上。极线是连接相机中心与三维场景点的直线的投影，这些投影形成了极线束。极点是相机中心在另一个相机图像上的投影，所有极线都会经过极点。
基础矩阵的数学定义
基础矩阵 F 将一个图像中的点 x 映射到另一个图像中的对应极线 l’ 。对于立体图像中的对应点 x 和 x’ ，它们满足以下关系：
x’T F x = 0
其中， x 和 x’ 分别是两个图像中的对应点，以齐次坐标表示。 这个方程表明，对应点必须满足与基础矩阵相关的约束。基础矩阵包含了相机的内部参数和外部参数的信息。
基础矩阵的计算
计算基础矩阵是计算机视觉中的一个重要问题。通常，可以通过以下步骤来计算基础矩阵：
- 特征点检测与匹配： 在立体图像中检测并匹配特征点，如SIFT、SURF或ORB。
- 归一化： 对特征点进行归一化，以提高计算精度。
- 八点算法： 使用至少八对对应点计算基础矩阵。 这是一种常用的算法，通过解线性方程组来估计基础矩阵。
- 最小二乘优化： 使用最小二乘法对基础矩阵进行优化，以减少噪声的影响。
基础矩阵的应用
基础矩阵在计算机视觉的许多应用中都发挥着重要作用：
- 立体视觉： 用于计算场景的三维结构，例如深度图的生成和三维重建。
- 图像校正： 用于校正立体图像，消除图像的畸变。
- 相机姿态估计： 用于估计相机在空间中的位置和方向。
- 物体识别与跟踪： 用于在多个视角下识别和跟踪物体。
基础矩阵与本质矩阵
基础矩阵与本质矩阵密切相关。本质矩阵是基础矩阵在相机内参已知的情况下的特殊形式。本质矩阵描述了相机之间的相对位置和方向，而不需要依赖图像坐标系。 通过相机内参，可以从基础矩阵中推导出本质矩阵。
结论
基础矩阵是计算机视觉中一个至关重要的概念，它为我们理解立体图像的几何关系提供了基础。它在立体视觉、三维重建和相机姿态估计等领域有着广泛的应用，是实现计算机视觉系统的重要组成部分。