切丛与纤维丛
在开始讨论竖直与水平丛之前，我们需要先了解切丛和纤维丛的概念。切丛是流形上每一点的切空间的并集，它包含了流形上所有可能的“速度向量”。纤维丛是一种更抽象的结构，它由一个总空间、一个基空间和一个纤维构成。纤维丛在局部看起来像是基空间和纤维的笛卡尔积。例如，一个圆柱面可以看作是圆和直线的纤维丛。
竖直丛
竖直丛 (Vertical Bundle) 是切丛的一个子丛，它由纤维丛中每个纤维的切向量构成。对于纤维丛E → B，竖直丛通常记为VE。竖直丛VE在点e ∈ E处的纤维，VeE，由e所在纤维的切向量组成。直观地说，竖直丛捕捉了纤维内部的“运动”。
水平丛
水平丛 (Horizontal Bundle) 也是切丛的一个子丛，但它捕捉了“横向”于纤维的运动。为了定义水平丛，我们需要引入一个叫做联络 (Connection) 的概念。联络为切丛TE提供了一种分解，TE = VE ⊕ HE，其中HE是水平丛。水平丛在点e ∈ E处的纤维，HeE，代表了“水平”方向的向量。 联络本质上定义了“水平”的概念，它将切向量分解为竖直分量和水平分量。
联络与平行移动
联络的重要作用在于它定义了纤维丛上的平行移动。沿着基空间中的一条曲线，我们可以通过联络将纤维中的点“平行移动”到另一个纤维。这个平行移动过程保持了纤维的几何结构。通过理解联络，我们能够研究纤维丛的曲率和整体性质。
竖直丛和水平丛的应用
竖直丛和水平丛是理解纤维丛几何结构的关键工具。它们在诸多领域都有应用，包括：
- 微分几何： 研究黎曼流形上的纤维丛，如切丛和余切丛。
- 规范理论： 在物理学中，规范场理论使用纤维丛来描述基本相互作用。
- 李群论： 李群的结构与纤维丛密切相关。
结论
竖直丛和水平丛是描述纤维丛切丛分解的两个重要概念，它们分别代表了纤维内的运动和横向运动。通过联络，我们定义了水平丛并建立了平行移动的概念，这对于研究纤维丛的几何性质至关重要。这些概念在微分几何、规范理论和李群论等领域都有着广泛的应用。