定义与性质
设G是一个群，H是G的一个子群。如果对于G中的任何元素g，存在一个正整数n，使得gHg-1 = H，则称H是G的多正规子群。这意味着，H的所有共轭都等于自身。多正规子群的性质与其他类型的子群（例如正规子群）密切相关，但它们之间的关系比正规子群更弱。任何正规子群都是多正规子群，但反之则不成立。
与正规子群的关系
正规子群是多正规子群的一个特例。对于G的任何正规子群N，对于G中的所有g，gNg-1 = N 恒成立。而多正规子群的定义相对宽松，它允许共轭操作只在子群H内保持不变，而非必须等于H本身。因此，每个正规子群都自动满足多正规子群的条件。虽然所有正规子群都是多正规的，但并非所有多正规子群都是正规的。这意味着，多正规子群的概念比正规子群更广泛，它包含了更多类型的子群。
应用
多正规子群在群论的各个领域都有应用，包括群的结构理论和分类。例如，在研究有限群的结构时，多正规子群可以帮助揭示群的复杂性以及它们之间的联系。在分析群的性质时，多正规子群提供了一种更灵活的视角，从而有助于对群的整体结构有更深入的理解。
多正规子群也与群的自同构密切相关。通过研究多正规子群，我们可以更好地理解一个群在自同构下的行为。多正规子群的概念可以帮助我们区分不同类型的群，并为群的分类和研究提供工具。
实例
考虑一个群G，以及它的一个子群H。如果H是G的中心，那么H一定是多正规的。中心是群G中与所有元素都可交换的元素的集合。由于中心的每个元素都与所有元素可交换，所以对于所有g∈G，我们有gHg-1=H。这是一个多正规子群的典型例子。
另一个例子是循环群的子群。循环群的所有子群都是多正规的，因为它们是交换群。对于交换群，所有子群都是正规的，因此也是多正规的。
结论
多正规子群是群论中一个重要的概念，它提供了一种研究群结构的视角。虽然多正规子群不如正规子群那样严格，但它的应用范围很广，对于理解群的性质、分类和自同构具有重要意义。多正规子群的概念是群论研究中的一个基础性工具，对于深入理解群的本质具有重要的作用。